論文の概要: Fermat Distances: Metric Approximation, Spectral Convergence, and Clustering Algorithms

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.05750v1
• Date: Fri, 7 Jul 2023 16:36:00 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-07-16 03:14:27.435505
• Title: Fermat Distances: Metric Approximation, Spectral Convergence, and Clustering Algorithms
• Title（参考訳）: ファーマー距離:メトリック近似、スペクトル収束、クラスタリングアルゴリズム
• Authors: Nicol\'as Garc\'ia Trillos, Anna Little, Daniel McKenzie, James M. Murphy
• Abstract要約: 我々は、フェルマー距離が、データの本質的な次元に依存する正確な速度で、小さな近傍の連続体類似物に収束することを証明した。 この結果は、離散的なサンプル駆動のフェルマー距離に基づく離散グラフラプラシアンが、対応する連続体作用素に収束することを証明するために用いられる。 個別から連続的なFermat距離分析によって得られる視点は、データのための新しいクラスタリングアルゴリズムに繋がる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.07321040534471
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We analyze the convergence properties of Fermat distances, a family of density-driven metrics defined on Riemannian manifolds with an associated probability measure. Fermat distances may be defined either on discrete samples from the underlying measure, in which case they are random, or in the continuum setting, in which they are induced by geodesics under a density-distorted Riemannian metric. We prove that discrete, sample-based Fermat distances converge to their continuum analogues in small neighborhoods with a precise rate that depends on the intrinsic dimensionality of the data and the parameter governing the extent of density weighting in Fermat distances. This is done by leveraging novel geometric and statistical arguments in percolation theory that allow for non-uniform densities and curved domains. Our results are then used to prove that discrete graph Laplacians based on discrete, sample-driven Fermat distances converge to corresponding continuum operators. In particular, we show the discrete eigenvalues and eigenvectors converge to their continuum analogues at a dimension-dependent rate, which allows us to interpret the efficacy of discrete spectral clustering using Fermat distances in terms of the resulting continuum limit. The perspective afforded by our discrete-to-continuum Fermat distance analysis leads to new clustering algorithms for data and related insights into efficient computations associated to density-driven spectral clustering. Our theoretical analysis is supported with numerical simulations and experiments on synthetic and real image data.
• Abstract（参考訳）: 確率測度を持つリーマン多様体上で定義される密度駆動計量の族であるフェルマー距離の収束特性を解析する。 フェルマー距離は、基礎となる測度からの離散的なサンプルで定義され、それらはランダムである場合や、密度歪んだリーマン計量の下で測地学によって誘導される連続体設定で定義することができる。 離散的なサンプルベースのフェルマー距離は、データの本質的な次元とフェルマー距離における密度重み付けの程度を規定するパラメータに依存する正確な速度で、その連続体アナログに収束することを示す。 これは、非一様密度と曲面領域を許容するパーコレーション理論において、新しい幾何学的および統計的議論を活用することによって行われる。 この結果は、離散的なサンプル駆動のフェルマー距離に基づく離散グラフラプラシアンが対応する連続作用素に収束することを証明するために用いられる。 特に、離散固有値と固有ベクトルは、その連続体アナログに次元依存的な速度で収束し、その結果の連続限界からフェルマー距離を用いて離散スペクトルクラスタリングの有効性を解釈することができる。 離散的から連続的なフェルマー距離分析によって得られる視点は、密度駆動スペクトルクラスタリングに関連する効率的な計算に関するデータおよび関連する洞察のための新しいクラスタリングアルゴリズムをもたらす。 本理論解析は,合成および実画像データに関する数値シミュレーションと実験によって支援されている。

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