論文の概要: Manifold learning in Wasserstein space
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.08549v1
- Date: Tue, 14 Nov 2023 21:21:35 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-11-16 18:19:27.477832
- Title: Manifold learning in Wasserstein space
- Title（参考訳）: ワッサーシュタイン空間における多様体学習
- Authors: Keaton Hamm, Caroline Moosm\"uller, Bernhard Schmitzer, Matthew Thorpe
- Abstract要約: 距離空間 $(Lambda,W_Lambda)$ は、ノード $lambda_i=1N$ とエッジウェイト $W(lambda_i,lambda_j)$ のグラフからグロモフ-ワッサーシュタインの意味で復元可能であることを示す。
特に、測度空間 $(Lambda,W_Lambda)$ は、Gromov--Wasserstein の意味でノード $lambda_i_ を持つグラフから復元可能であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.2315169215372443
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This paper aims at building the theoretical foundations for manifold learning
algorithms in the space of absolutely continuous probability measures on a
compact and convex subset of $\mathbb{R}^d$, metrized with the Wasserstein-2
distance $W$. We begin by introducing a natural construction of submanifolds
$\Lambda$ of probability measures equipped with metric $W_\Lambda$, the
geodesic restriction of $W$ to $\Lambda$. In contrast to other constructions,
these submanifolds are not necessarily flat, but still allow for local
linearizations in a similar fashion to Riemannian submanifolds of
$\mathbb{R}^d$. We then show how the latent manifold structure of
$(\Lambda,W_{\Lambda})$ can be learned from samples $\{\lambda_i\}_{i=1}^N$ of
$\Lambda$ and pairwise extrinsic Wasserstein distances $W$ only. In particular,
we show that the metric space $(\Lambda,W_{\Lambda})$ can be asymptotically
recovered in the sense of Gromov--Wasserstein from a graph with nodes
$\{\lambda_i\}_{i=1}^N$ and edge weights $W(\lambda_i,\lambda_j)$. In addition,
we demonstrate how the tangent space at a sample $\lambda$ can be
asymptotically recovered via spectral analysis of a suitable "covariance
operator" using optimal transport maps from $\lambda$ to sufficiently close and
diverse samples $\{\lambda_i\}_{i=1}^N$. The paper closes with some explicit
constructions of submanifolds $\Lambda$ and numerical examples on the recovery
of tangent spaces through spectral analysis.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,Wasserstein-2 距離 $W$ で計算された$\mathbb{R}^d$ のコンパクトかつ凸部分集合上の絶対連続確率測度空間における多様体学習アルゴリズムの理論基盤を構築することを目的とする。
まず、計量 $w_\lambda$ を備えた確率測度の部分多様体 $\lambda$ の自然な構成を導入することから始め、測地学的制限は $w$ から $\lambda$ となる。
他の構成とは対照的に、これらの部分多様体は必ずしも平坦ではないが、なお、リーマン部分多様体である $\mathbb{r}^d$ と似た方法で局所線型化を許す。
次に、$(\Lambda,W_{\Lambda})$ の潜在多様体構造がサンプル $\{\lambda_i\}_{i=1}^N$ of $\Lambda$ からどのように学習できるかを示す。
特に、計量空間 $(\Lambda,W_{\Lambda})$ は、ノード $\{\lambda_i\}_{i=1}^N$ と辺重み $W(\lambda_i,\lambda_j)$ のグラフからグロモフ-ワッサーシュタインの意味で漸近的に回復できることを示す。
さらに、サンプル $\lambda$ における接空間が、適切な「共分散作用素」のスペクトル解析によって、十分に近い、多様なサンプル $\{\lambda_i\}_{i=1}^N$ への最適な輸送写像を用いて、どのように漸近的に回復できるかを示す。
この論文は、部分多様体 $\lambda$ の明示的な構成とスペクトル解析による接空間の回復に関する数値例で締めくくっている。
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