論文の概要: Strong Error Bounds for Trotter & Strang-Splittings and Their Implications for Quantum Chemistry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.08044v1
• Date: Wed, 13 Dec 2023 10:54:07 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-12-14 15:46:30.140603
• Title: Strong Error Bounds for Trotter & Strang-Splittings and Their Implications for Quantum Chemistry
• Title（参考訳）: トロッター・ストラングスプリッティングの強い誤差境界と量子化学への応用
• Authors: Daniel Burgarth, Paolo Facchi, Alexander Hahn, Mattias Johnsson, Kazuya Yuasa
• Abstract要約: 入力状態依存性を明示する高次積公式を含む誤差推定理論を提案する。 本手法は,文献における既存作用素ノルム推定の2つの限界を克服する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 41.94295877935867
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Efficient error estimates for the Trotter product formula are central in quantum computing, mathematical physics, and numerical simulations. However, the Trotter error's dependency on the input state and its application to unbounded operators remains unclear. Here, we present a general theory for error estimation, including higher-order product formulas, with explicit input state dependency. Our approach overcomes two limitations of the existing operator-norm estimates in the literature. First, previous bounds are too pessimistic as they quantify the worst-case scenario. Second, previous bounds become trivial for unbounded operators and cannot be applied to a wide class of Trotter scenarios, including atomic and molecular Hamiltonians. Our method enables analytical treatment of Trotter errors in chemistry simulations, illustrated through a case study on the hydrogen atom. Our findings reveal: (i) for states with fat-tailed energy distribution, such as low-angular-momentum states of the hydrogen atom, the Trotter error scales worse than expected (sublinearly) in the number of Trotter steps; (ii) certain states do not admit an advantage in the scaling from higher-order Trotterization, and thus, the higher-order Trotter hierarchy breaks down for these states, including the hydrogen atom's ground state; (iii) the scaling of higher-order Trotter bounds might depend on the order of the Hamiltonians in the Trotter product for states with fat-tailed energy distribution. Physically, the enlarged Trotter error is caused by the atom's ionization due to the Trotter dynamics. Mathematically, we find that certain domain conditions are not satisfied by some states so higher moments of the potential and kinetic energies diverge. Our analytical error analysis agrees with numerical simulations, indicating that we can estimate the state-dependent Trotter error scaling genuinely.
• Abstract（参考訳）: トロッター積公式の効率的な誤差推定は、量子コンピューティング、数理物理学、数値シミュレーションの中心である。 しかし、トロッターエラーの入力状態への依存性とその非有界演算子への応用は、まだ不明である。 本稿では,明示的な入力状態依存性を持つ高階積公式を含む誤差推定の一般理論を提案する。 本稿では,既存の演算子ノルム推定の2つの限界を克服する。 まず、前の境界は最悪のシナリオを定量化するため悲観的すぎる。 第二に、以前の境界は非有界作用素に対して自明となり、原子および分子ハミルトニアンを含む幅広い種類のトロッターシナリオに適用できない。 本手法は,水素原子のケーススタディにより,化学シミュレーションにおけるトロッター誤差の解析的処理を可能にする。 私たちの発見は i) 水素原子の低角運動状態のような脂肪尾エネルギー分布を持つ状態の場合、トロッターの誤差は、トロッターのステップ数において予想よりも(サブリニアに)悪化する。 (ii) ある状態は、高次ロータライズからのスケーリングの利点を認めておらず、したがって、水素原子の基底状態を含むこれらの状態に対して高次ロータリー階層が崩壊する。 (iii)高次トロッター境界のスケーリングは、脂肪相のエネルギー分布を持つ状態のトロッター積におけるハミルトニアンの順序に依存する可能性がある。 物理的には、トロッターの誤差はトロッターのダイナミクスによる原子のイオン化によって引き起こされる。 数学的には、ある領域の状態は、ポテンシャルと運動エネルギーの高次モーメントが分岐する状態によって満たされないことが分かる。 解析誤差解析は数値シミュレーションと一致し、状態依存のトロッター誤差スケーリングを真に推定できることを示す。

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