論文の概要: The Dirac Delta as a Singular Potential for the 2D Schrodinger Equation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.15126v1
- Date: Sat, 23 Dec 2023 00:43:06 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-12-27 19:35:06.733230
- Title: The Dirac Delta as a Singular Potential for the 2D Schrodinger Equation
- Title（参考訳）: 2次元シュロディンガー方程式の特異ポテンシャルとしてのディラックデルタ
- Authors: Michael Maroun
- Abstract要約: 分布一般化量子論の枠組みにおいて、対象$Hpsi$は分布として定義される。
その重要性は数学的に厳密な方法であり、いかなる種類の正規化や正規化にも依存しない。
分布解釈は、波動関数が定義できない点で評価する必要性を解消する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: In the framework of distributionally generalized quantum theory, the object
$H\psi$ is defined as a distribution. The mathematical significance is a mild
generalization for the theory of para- and pseudo-differential operators (as
well as a generalization of the weak eigenvalue problem), where the $\psi$-do
symbol (which is not a proper linear operator in this generalized case) can
have its coefficient functions take on singular distributional values. Here, a
distribution is said to be singular if it is not L$^p(\mathbb{R}^d)$ for any
$p\geq 1$. Physically, the significance is a mathematically rigorous method,
which does not rely upon renormalization or regularization of any kind, while
producing bound state energy results in agreement with the literature. In
addition, another benefit is that the method does not rely upon self-adjoint
extensions of the Laplace operator. This is important when the theory is
applied to non-Schrodinger systems, as is the case for the Dirac equation and a
necessary property of any finite rigorous version of quantum field theory. The
distributional interpretation resolves the need to evaluate a wave function at
a point where it fails to be defined. For $d=2$, this occurs as
$K_o(a|x|)\delta(x)$, where $K_o$ is the zeroth order MacDonald function.
Finally, there is also the identification of a missing anomalous length scale,
owing to the scale invariance of the formal symbol(ic) Hamiltonian, as well as
the common identity for the logarithmic function, with $a,\,b\in\mathbb{R}^+$,
$\log(ab)=\log(a)+\log(b)$, which loses unitlessness in its arguments.
Consequently, the energy or point spectrum is generalized as a family (set
indexed by the continuum) of would-be spectral values, called the C-spectrum.
- Abstract（参考訳）: 分布一般化量子論の枠組みにおいて、オブジェクト $h\psi$ は分布として定義される。
数学的意義は、パラ微分作用素と擬微分作用素の理論(および弱固有値問題の一般化)の穏やかな一般化であり、$\psi$-doシンボル(この一般化の場合、適切な線型作用素ではない)はその係数関数が特異分布値を取ることができる。
ここで、分布が特異であるとは、任意の$p\geq 1$に対して l$^p(\mathbb{r}^d)$ でないときに言う。
物理的には、その重要性は数学的に厳密な方法であり、いかなる種類の正規化や正規化にも依存せず、文献と一致した境界状態エネルギーを生成する。
さらに別の利点は、このメソッドがラプラス演算子の自己随伴拡張に依存していないことである。
これは、ディラック方程式の場合と同様に、理論が非シュロディンガー系に適用されるときに重要であり、量子場理論の有限厳密なバージョンに必要な性質である。
分布解釈は、それが定義できない時点で波動関数を評価する必要性を解消する。
$d=2$ の場合、これは $K_o(a|x|)\delta(x)$ であり、$K_o$ はゼロ次マクドナルド関数である。
最後に、形式記号(ic)ハミルトニアン(英語版)のスケール不変性と対数関数の共通同一性により、a,\,b\in\mathbb{r}^+$, $\log(ab)=\log という異常な長さスケールの識別もある。
(a)+\log
(b)$であり、引数に単位性が失われる。
その結果、エネルギーまたは点スペクトルは、cスペクトルと呼ばれるスペクトル値の族(連続体によってインデックス化された集合)として一般化される。
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