論文の概要: A Regularized $(XP)^2$ Model

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2308.11648v2
• Date: Tue, 6 Feb 2024 06:57:16 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-02-07 20:25:57.077181
• Title: A Regularized $(XP)^2$ Model
• Title（参考訳）: 正規化された$(xp)^2$モデル
• Authors: Yu-Qi Chen and Zhao-Feng Ge
• Abstract要約: 古典的ハミルトニアン $H(x,p)=(x2+a2)(p2+a2)$, ここでは $a2>0$, 古典的, 半古典的, 量子力学において。 量子化ハミルトニアンの3つの異なる形式を示し、それらを$cosh 2x$-likeのポテンシャルで標準シュラー・オーディンガー方程式に再構成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5729101515196013
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We investigate a dynamic model described by the classical Hamiltonian $H(x,p)=(x^2+a^2)(p^2+a^2)$, where $a^2>0$, in classical, semi-classical, and quantum mechanics. In the high-energy $E$ limit, the phase path resembles that of the $(XP)^2$ model. However, the non-zero value of $a$ acts as a regulator, removing the singularities that appear in the region where $x, p \sim 0$, resulting in a discrete spectrum characterized by a logarithmic increase in state density. Classical solutions are described by elliptic functions, with the period being determined by elliptic integrals. In semi-classical approximation, we speculate that the asymptotic Riemann-Siegel formula may be interpreted as summing over contributions from multiply phase paths. We present three different forms of quantized Hamiltonians, and reformulate them into the standard Schr\" odinger equation with $\cosh 2x$-like potentials. Numerical evaluations of the spectra for these forms are carried out and reveal minor differences in energy levels. Among them, one interesting form possesses Hamiltonian in the Schr\" odinger equation that is identical to its classical version. In such scenarios, the eigenvalue equations can be expressed as the vanishing of the Mathieu functions' value at $i\infty$ points, and furthermore, the Mathieu functions can be represented as the wave functions.
• Abstract（参考訳）: 古典的ハミルトニアンである $h(x,p)=(x^2+a^2)(p^2+a^2)$ によって記述される動的モデルについて検討する。 高エネルギーの$E$制限では、位相パスは$(XP)^2$モデルに似ている。 しかし、$a$のゼロでない値はレギュレータとして作用し、$x, p \sim 0$の領域に現れる特異点を取り除き、状態密度の対数的増加を特徴とする離散スペクトルとなる。 古典解は楕円函数によって記述され、周期は楕円積分によって決定される。 半古典近似では、漸近リーマン・ジーゲル公式は多重位相経路からの寄与の和として解釈できると推測する。 量子化ハミルトニアンの3つの異なる形式を示し、それらを$\cosh 2x$-likeポテンシャルを持つ標準シュレーディンガー方程式に再構成する。 これらのスペクトルの数値評価を行い、エネルギー準位の違いを明らかにした。 そのうちの1つの興味深い形式は、古典版と同一のシュルク・オディンガー方程式においてハミルトニアンを持つ。 そのようなシナリオでは、固有値方程式は$i\infty$ポイントでのマチュー関数の値の消滅として表すことができ、さらにマチュー関数は波動関数として表すことができる。

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