論文の概要: Neural Operator Approximations of Backstepping Kernels for $2\times 2$ Hyperbolic PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.16762v1
• Date: Thu, 28 Dec 2023 00:49:41 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-12-29 18:02:56.879080
• Title: Neural Operator Approximations of Backstepping Kernels for $2\times 2$ Hyperbolic PDEs
• Title（参考訳）: 2ドルの双曲型PDEに対するバックステッピングカーネルのニューラル演算子近似
• Authors: Shanshan Wang, Mamadou Diagne and Miroslav Krsti\'c
• Abstract要約: DeepONetと呼ばれる非線形演算子のディープニューラルネットワーク近似は、これまでPDEバックステッピング設計を近似できることが証明されてきた。 結合されたPDEの境界制御では、結合されたGoursat形式PDEが2つ以上のゲインカーネルを管理する。 DeepONet-approximated gainは、正確なバックステッピングゲインカーネルを置き換える際の安定化を保証する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.2869182375774613
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Deep neural network approximation of nonlinear operators, commonly referred to as DeepONet, has so far proven capable of approximating PDE backstepping designs in which a single Goursat-form PDE governs a single feedback gain function. In boundary control of coupled PDEs, coupled Goursat-form PDEs govern two or more gain kernels - a PDE structure unaddressed thus far with DeepONet. In this note we open the subject of approximating systems of gain kernel PDEs for hyperbolic PDE plants by considering a simple counter-convecting $2\times 2$ coupled system in whose control a $2\times 2$ Goursat form kernel PDE system arises. Such a coupled kernel PDE problem arises in several canonical $2\times 2$ hyperbolic PDE problems: oil drilling, Saint-Venant model of shallow water waves, and Aw-Rascle model of stop-and-go instability in congested traffic flow. In this paper, we establish the continuity of the mapping from (a total of five) plant PDE functional coefficients to the kernel PDE solutions, prove the existence of an arbitrarily close DeepONet approximation to the kernel PDEs, and establish that the DeepONet-approximated gains guarantee stabilization when replacing the exact backstepping gain kernels. The DeepONet operator speeds the computation of the controller gains by multiple orders of magnitude and its theoretically proven stabilizing capability is illustrated by simulations.
• Abstract（参考訳）: 非線形演算子のディープニューラルネットワーク近似(一般にDeepONet)は、1つのグールサット形式PDEが1つのフィードバックゲイン関数を支配しているPDEバックステッピング設計を近似できる。 結合されたPDEの境界制御では、結合されたGoursat形式のPDEが2つ以上のゲインカーネルを管理している。 本論では, 2\times 2$ goursat 型カーネル pde 系を制御可能な 2\times 2$ 結合系を考えることで,双曲型 pde プラントにおけるゲインカーネル pde の近似系を解く。 このような結合されたカーネルPDE問題は、石油掘削、浅い水面波のサン・ヴェナントモデル、渋滞した交通流における停止と停止の不安定性のAw-Rascleモデルといった双曲型PDE問題によって生じる。 本稿では、(合計5つの)プラントPDE関数係数からカーネルPDE解への写像の連続性を確立し、カーネルPDEへの任意の近接なDeepONet近似の存在を証明し、正確なバックステッピングゲインカーネルを置き換える際に、DeepONet近似されたゲインが安定化を保証することを保証する。 DeepONetオペレータは、コントローラゲインの計算を桁違いに高速化し、理論上証明された安定化能力はシミュレーションによって示される。

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