論文の概要: Deep Neural Network Solutions for Oscillatory Fredholm Integral Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.07003v1
• Date: Sat, 13 Jan 2024 07:26:47 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-01-17 20:20:27.493034
• Title: Deep Neural Network Solutions for Oscillatory Fredholm Integral Equations
• Title（参考訳）: 振動フレドホルム積分方程式に対するディープニューラルネットワーク解
• Authors: Jie Jiang and Yuesheng Xu
• Abstract要約: 近似解としてDNNを用いて方程式を解く数値解法を開発した。 次に、ニューラルネットワークのスペクトルバイアス問題を克服するために、多段階ディープラーニング(MGDL)モデルを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.102640617194025
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We studied the use of deep neural networks (DNNs) in the numerical solution of the oscillatory Fredholm integral equation of the second kind. It is known that the solution of the equation exhibits certain oscillatory behaviors due to the oscillation of the kernel. It was pointed out recently that standard DNNs favour low frequency functions, and as a result, they often produce poor approximation for functions containing high frequency components. We addressed this issue in this study. We first developed a numerical method for solving the equation with DNNs as an approximate solution by designing a numerical quadrature that tailors to computing oscillatory integrals involving DNNs. We proved that the error of the DNN approximate solution of the equation is bounded by the training loss and the quadrature error. We then proposed a multi-grade deep learning (MGDL) model to overcome the spectral bias issue of neural networks. Numerical experiments demonstrate that the MGDL model is effective in extracting multiscale information of the oscillatory solution and overcoming the spectral bias issue from which a standard DNN model suffers.
• Abstract（参考訳）: 第2種類の振動型フレドホルム積分方程式の数値解におけるディープニューラルネットワーク(dnn)の利用について検討した。 方程式の解は、核の振動による特定の振動挙動を示すことが知られている。 近年、標準DNNは低周波関数を好んでいることが指摘され、その結果、高周波成分を含む関数に対する近似が低くなることがしばしばあった。 我々はこの問題に本研究で取り組んだ。 まず, DNN を含む振動積分を計算可能な数値的二次方程式を設計し, 近似解として DNN を用いて方程式を解く数値解法を開発した。 方程式のDNN近似解の誤差は、トレーニング損失と二次誤差によって制限されることを示した。 次に,ニューラルネットワークのスペクトルバイアス問題を克服するために,多段階ディープラーニング(mgdl)モデルを提案する。 MGDLモデルは,振動解のマルチスケール情報を抽出し,標準DNNモデルが抱えるスペクトルバイアス問題を克服するのに有効であることを示す。

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