論文の概要: Arithmeticity, thinness and efficiency of qutrit Clifford+T gates

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.16120v2
• Date: Tue, 12 Nov 2024 15:44:31 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-13 13:16:12.439531
• Title: Arithmeticity, thinness and efficiency of qutrit Clifford+T gates
• Title（参考訳）: 四重項クリフォード+Tゲートの算術性、薄さおよび効率性
• Authors: Shai Evra, Ori Parzanchevski,
• Abstract要約: 本稿ではPU(3)のアナログゲートについて検討する。 PU(3) において、クリフォード+T ゲートによって生成される群は算術的ではなく、実際、それは薄い行列群である。 一方、最近提案されたClifford+T ゲートの拡張 Clifford+D について検討し、これらが PU(3) の完全な S-算術的部分群を生成し、PU(2) の Clifford+T よりもわずかに弱い準最適被覆特性を満たすことを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: The Clifford+T gate set is a topological generating set for PU(2), which has been well-studied from the perspective of quantum computation on a single qubit. The discovery that it generates a full S-arithmetic subgroup of PU(2) has led to a fruitful interaction between quantum computation and number theory, resulting in a proof that words in these gates cover PU(2) in an almost-optimal manner. In this paper we study the analogue gate set for PU(3). We show that in PU(3) the group generated by the Clifford+T gates is not arithmetic - in fact, it is a thin matrix group, namely a Zariski-dense group of infinite index in its ambient S-arithmetic group. On the other hand, we study a recently proposed extension of the Clifford+T gates, called Clifford+D, and show that these do generate a full S-arithmetic subgroup of PU(3), and satisfy a slightly weaker almost-optimal covering property than that of Clifford+T in PU(2). The proofs are different from those for PU(2): while both gate sets act naturally on a (Bruhat-Tits) tree, in PU(2) the generated group acts transitively on the vertices of the tree, and this is a main ingredient in proving both arithmeticity and efficiency. In the PU(3) Clifford+D case the action on the tree is far from being transitive. This makes the proof of arithmeticity considerably harder, and the study of efficiency by automorphic representation theory becomes more involved, and results in a covering rate which differs from the optimal one by a factor of $log_3(105)\approx 4.236$.
• Abstract（参考訳）: クリフォード+Tゲート集合 (Clifford+T gate set) は、PU(2) の位相的生成集合であり、単一の量子ビット上の量子計算の観点からよく研究されている。 PU(2)の完全なS-算術的部分群を生成するという発見は、量子計算と数論の間の実りある相互作用をもたらし、これらのゲートの単語がPU(2)をほぼ最適にカバーしていることを示す結果となった。 本稿ではPU(3)のアナログゲートについて検討する。 PU(3) において、クリフォード+T ゲートによって生成される群は算術的ではなく、実際、それは薄い行列群である。 一方、最近提案されたClifford+T ゲートの拡張 Clifford+D について検討し、これらが PU(3) の完全な S-算術的部分群を生成し、PU(2) の Clifford+T よりもわずかに弱い準最適被覆特性を満たすことを示す。 証明は PU(2) と異なる: 両方のゲート集合が自然に(Bruhat-Tits)木に作用するのに対して、PU(2) では生成された群は木の頂点に推移的に作用し、これは算術性と効率性の両方を証明する主要な要素である。 PU(3) クリフォード+Dの場合、木の作用は過渡的ではない。 これにより算術性の証明がかなり難しくなり、自己同型表現論による効率の研究がより複雑になり、最適値と異なる被覆率が$log_3(105)\approx 4.236$ となる。

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