論文の概要: A General Theory for Kernel Packets: from state space model to compactly supported basis

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.04022v2
• Date: Wed, 7 Feb 2024 18:36:18 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-02-08 11:48:33.060253
• Title: A General Theory for Kernel Packets: from state space model to compactly supported basis
• Title（参考訳）: カーネルパケットの一般理論:状態空間モデルからコンパクト支持基底へ
• Authors: Liang Ding and Tuo Rui
• Abstract要約: GP の $m$-dimensional SS モデルの定式化は、一般右 Kernel Packet (KP) として導入する概念と等価であることを示す。 KP はさらに GP の予測時間を O(log n) あるいは O(1) に短縮する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.877743779636347
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: It is well known that the state space (SS) model formulation of a Gaussian process (GP) can lower its training and prediction time both to O(n) for n data points. We prove that an $m$-dimensional SS model formulation of GP is equivalent to a concept we introduce as the general right Kernel Packet (KP): a transformation for the GP covariance function $K$ such that $\sum_{i=0}^{m}a_iD_t^{(j)}K(t,t_i)=0$ holds for any $t \leq t_1$, 0 $\leq j \leq m-1$, and $m+1$ consecutive points $t_i$, where ${D}_t^{(j)}f(t) $ denotes $j$-th order derivative acting on $t$. We extend this idea to the backward SS model formulation of the GP, leading to the concept of the left KP for next $m$ consecutive points: $\sum_{i=0}^{m}b_i{D}_t^{(j)}K(t,t_{m+i})=0$ for any $t\geq t_{2m}$. By combining both left and right KPs, we can prove that a suitable linear combination of these covariance functions yields $m$ compactly supported KP functions: $\phi^{(j)}(t)=0$ for any $t\not\in(t_0,t_{2m})$ and $j=0,\cdots,m-1$. KPs further reduce the prediction time of GP to O(log n) or even O(1), can be applied to more general problems involving the derivative of GPs, and have multi-dimensional generalization for scattered data.
• Abstract（参考訳）: 状態空間 (SS) がガウス過程 (GP) の定式化によって訓練時間と予測時間をn個のデータポイントのO(n) に短縮できることはよく知られている。 gp の $m$ 次元 ss モデル定式化は、我々が一般右核パケット (kp) として導入した概念と等価であることを証明する: $\sum_{i=0}^{m}a_id_t^{(j)}k(t,t_i)=0$ 任意の $t \leq t_1$, 0 $\leq j \leq m-1$, and $m+1$ 連続点 $t_i$, ここで ${d}_t^{(j)}f(t)$ は$t$ に作用する$j$-次微分を表す。 このアイデアは GP の後方 SS モデルの定式化にまで拡張され、次の$m$連続点に対する左 KP の概念が導かれる: $\sum_{i=0}^{m}b_i{D}_t^{(j)}K(t,t_{m+i})=0$ for any $t\geq t_{2m}$。 左右の KP を組合せることで、これらの共分散関数の適当な線型結合がコンパクトに支持された KP 関数を$m$ で得られることを証明できる: $\phi^{(j)}(t)=0$ for any $t\not\in(t_0,t_{2m})$ and $j=0,\cdots,m-1$。 KPs はさらに GP の O(log n) あるいは O(1) への予測時間を減少させ、GP の微分を含むより一般的な問題に適用でき、分散データに対する多次元の一般化を持つ。

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