論文の概要: Score-Based Physics-Informed Neural Networks for High-Dimensional
Fokker-Planck Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.07465v1
- Date: Mon, 12 Feb 2024 07:59:25 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-02-13 15:06:59.816839
- Title: Score-Based Physics-Informed Neural Networks for High-Dimensional
Fokker-Planck Equations
- Title（参考訳）: 高次元フォッカープランク方程式のためのスコアベース物理インフォームドニューラルネットワーク
- Authors: Zheyuan Hu, Zhongqiang Zhang, George Em Karniadakis, Kenji Kawaguchi
- Abstract要約: 本稿では,スコア関数をSDEに適合させるスコアベースの解法を提案する。
提案したスコアベースSDEソルバは,まずSM,SSM,Score-PINNを用いてスコアを取得し,次にODEを用いてLLを解く。
その結果、スコアベースのSDEソルバの安定性、速度、性能を異なる設定で示すことができた。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 27.164040990410065
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The Fokker-Planck (FP) equation is a foundational PDE in stochastic
processes. However, curse of dimensionality (CoD) poses challenge when dealing
with high-dimensional FP PDEs. Although Monte Carlo and vanilla
Physics-Informed Neural Networks (PINNs) have shown the potential to tackle
CoD, both methods exhibit numerical errors in high dimensions when dealing with
the probability density function (PDF) associated with Brownian motion. The
point-wise PDF values tend to decrease exponentially as dimension increases,
surpassing the precision of numerical simulations and resulting in substantial
errors. Moreover, due to its massive sampling, Monte Carlo fails to offer fast
sampling. Modeling the logarithm likelihood (LL) via vanilla PINNs transforms
the FP equation into a difficult HJB equation, whose error grows rapidly with
dimension. To this end, we propose a novel approach utilizing a score-based
solver to fit the score function in SDEs. The score function, defined as the
gradient of the LL, plays a fundamental role in inferring LL and PDF and
enables fast SDE sampling. Three fitting methods, Score Matching (SM), Sliced
SM (SSM), and Score-PINN, are introduced. The proposed score-based SDE solver
operates in two stages: first, employing SM, SSM, or Score-PINN to acquire the
score; and second, solving the LL via an ODE using the obtained score.
Comparative evaluations across these methods showcase varying trade-offs. The
proposed method is evaluated across diverse SDEs, including anisotropic OU
processes, geometric Brownian, and Brownian with varying eigenspace. We also
test various distributions, including Gaussian, Log-normal, Laplace, and
Cauchy. The numerical results demonstrate the score-based SDE solver's
stability, speed, and performance across different settings, solidifying its
potential as a solution to CoD for high-dimensional FP equations.
- Abstract（参考訳）: フォッカー・プランク方程式(Fokker-Planck equation)は確率過程における基礎的なPDEである。
しかし、次元性(CoD)の呪いは、高次元FP PDEを扱う際に問題となる。
モンテカルロとバニラ物理学に基づくニューラルネットワーク (pinns) はcodに取り組む可能性を示したが、どちらの手法もブラウン運動に関連する確率密度関数 (pdf) を扱う際に高次元の数値誤差を示す。
ポイントワイズPDFの値は次元が大きくなるにつれて指数関数的に減少し、数値シミュレーションの精度を上回り、かなりの誤差をもたらす。
さらに、大規模なサンプリングのため、モンテカルロは高速サンプリングを提供しない。
バニラPINNによる対数可能性(LL)のモデル化は、FP方程式を難しいHJB方程式に変換し、その誤差は次元とともに急速に増加する。
そこで本研究では,スコアに基づく解法を用いてスコア関数をSDEに適合させる手法を提案する。
スコア関数はLLの勾配として定義され、LLとPDFの推測において基本的な役割を担い、高速なSDEサンプリングを可能にする。
Score Matching(SM)、Sliced SM(SSM)、Score-PINNの3つのフィッティング手法が導入された。
提案するスコアベースsdeソルバは、sm、ssm、またはスコアピンを用いてスコアを取得する2段階、および得られたスコアを用いてodeを介してllを解く。
これらの手法の比較評価は、様々なトレードオフを示す。
提案手法は,異方性ou過程,幾何ブラウン過程,固有空間の異なるブラウン過程を含む多種多様なsdesで評価される。
また,ガウス分布,対数正規分布,ラプラス分布,コーシー分布もテストした。
数値計算の結果、スコアベースのSDEソルバの安定性、速度、性能を異なる設定で示し、高次元FP方程式に対するCoDの解法としてのポテンシャルを固めた。
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