論文の概要: Expansion of higher-dimensional cubical complexes with application to
quantum locally testable codes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.07476v1
- Date: Mon, 12 Feb 2024 08:32:13 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-02-13 15:08:43.331958
- Title: Expansion of higher-dimensional cubical complexes with application to
quantum locally testable codes
- Title（参考訳）: 高次元立方体錯体の拡張と量子ローカルテストコードへの応用
- Authors: Irit Dinur, Ting-Chun Lin, Thomas Vidick
- Abstract要約: より高次元の「キュービカル」鎖複体を導入し、量子局所テスト可能な符号の設計に適用する。
t=4$ の場合、我々の構成は 4-タプルのランダム線型写像のロバスト性に関する予想を条件に、量子局所テスト可能な符号の族を与える。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.871639335723556
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce a higher-dimensional "cubical" chain complex and apply it to the
design of quantum locally testable codes. Our cubical chain complex can be
constructed for any dimension $t$, and in a precise sense generalizes the
Sipser-Spielman construction of expander codes (case $t=1$) and the
constructions by Dinur et. al and Panteleev and Kalachev of a square complex
(case $t$=2), which have been applied to the design of classical locally
testable and quantum low-density parity check codes respectively. For $t=4$ our
construction gives a family of quantum locally testable codes conditional on a
conjecture about robustness of four-tuples of random linear maps. These codes
have linear dimension, inverse poly-logarithmic relative distance and
soundness, and polylogarithmic-size parity checks.
Our complex can be built in a modular way from two ingredients. Firstly, the
geometry (edges, faces, cubes, etc.) is provided by a set $G$ of size $N$,
together with pairwise commuting sets of actions $A_1,\ldots,A_t$ on it.
Secondly, the chain complex itself is obtained by associating local coefficient
spaces based on codes, with each geometric object, and introducing local maps
on those coefficient spaces.
We bound the cycle and co-cycle expansion of the chain complex. The
assumptions we need are two-fold: firstly, each Cayley graph $Cay(G,A_j)$ needs
to be a good (spectral) expander, and secondly, the families of codes and their
duals both need to satisfy a form of robustness (that generalizes the condition
of agreement testability for pairs of codes). While the first assumption is
easy to satisfy, it is currently not known if the second can be achieved.
- Abstract（参考訳）: より高次元の「キュービカル」鎖複体を導入し、量子局所テスト可能な符号の設計に適用する。
我々の立方体鎖複体は任意の次元$t$で構成することができ、正確には、拡張符号(例$t=1$)のシプサー・スピールマン構成とディンルらによる構成を一般化する。
al と Panteleev と Kalachev の平方体(例 $t$=2) は、それぞれ古典的局所的テスト可能および量子的低密度パリティチェック符号の設計に適用されている。
t=4$ の場合、我々の構成は 4-タプルのランダム線型写像のロバスト性に関する予想を条件に、量子局所テスト可能な符号の族を与える。
これらの符号は線形次元、逆多対数相対距離と音質、多対数パリティチェックを有する。
私たちの複合体は2つの材料からモジュラーな方法で構築できます。
第一に、幾何学(縁、面、立方体など)は、A_1,\ldots,A_t$というアクションのペア交換セットと共に、サイズ$N$のセット$G$で提供される。
第二に、連鎖複体は、符号に基づく局所係数空間を各幾何学的対象に関連付け、それらの係数空間上の局所写像を導入することによって得られる。
我々は連鎖錯体のサイクルと共サイクル展開を制限した。
第一に、各cayley graph $cay(g,a_j)$ は良い(スペクトル)展開である必要があり、第二に、コードのファミリーとそれらの双対はどちらも堅牢性の形式を満たす必要がある(コードのペアに対する合意テスト可能性の条件を一般化する)。
第1の仮定は満足しやすいが、現在、第2の仮定が達成できるかどうかは分かっていない。
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