論文の概要: Hamiltonian for a Bose gas with Contact Interactions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.12594v2
• Date: Thu, 22 May 2025 16:17:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-23 17:12:47.594951
• Title: Hamiltonian for a Bose gas with Contact Interactions
• Title（参考訳）: 接触相互作用を持つボースガスに対するハミルトニアン
• Authors: Daniele Ferretti, Alessandro Teta,
• Abstract要約: 我々は、ゼロレンジ相互作用(コンタクト)を介して相互作用するN geq 3$スピンレス粒子の3次元ボース気体について、ハミルトニアンの研究を行う。 このような相互作用は、2つの粒子の座標が一致するときに、偶然の超平面に課される(特異な)境界条件によって符号化される。 このような修正された境界条件によって特徴づけられるハミルトン多様体のクラスを構築し、それは自己随伴であり、下から有界である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 49.1574468325115
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study the Hamiltonian for a three-dimensional Bose gas of $N \geq 3$ spinless particles interacting via zero-range (also known as contact) interactions. Such interactions are encoded by (singular) boundary conditions imposed on the coincidence hyperplanes, i.e., when the coordinates of two particles coincide. It is well known that imposing the same kind of boundary conditions as in the two-body problem with a point interaction leads to a Hamiltonian unbounded from below (and thus unstable). This is due to the fact that the interaction becomes overly strong and attractive when the coordinates of three or more particles coincide. In order to avoid such instability, we develop a suggestion originally formulated by Minlos and Faddeev in 1962, introducing slightly modified boundary conditions that weaken the strength of the interaction between two particles $i$ and $j$ in two scenarios: (a) a third particle approaches the common position of $i$ and $j$; (b) another distinct pair of particles approach each other. In all other cases, the usual boundary condition is restored. Using a quadratic form approach, we construct a class of Hamiltonians characterized by such modified boundary conditions, that are self-adjoint and bounded from below. We also compare our approach with the one developed years ago by Albeverio, H{\o}egh-Krohn and Streit using the theory of Dirichlet forms (J. Math. Phys., 18, 907--917, 1977). In particular, we show that the $N$-body Hamiltonian defined by Albeverio et al. is a special case of our class of Hamiltonians. Furthermore, we also introduce a Dirichlet form by considering a more general weight function, and we prove that the corresponding $N$-body Hamiltonians essentially coincide with those constructed via our method.
• Abstract（参考訳）: 我々は、ゼロレンジ相互作用(コンタクト)を介して相互作用するN \geq 3$スピンレス粒子の3次元ボース気体について、ハミルトニアンの研究を行う。 このような相互作用は、2つの粒子の座標が一致するときに、偶然の超平面に課される(特異な)境界条件によって符号化される。 点相互作用を持つ二体問題と同じ種類の境界条件を課すことは、下から(したがって不安定な)ハミルトン的アンバウンドにつながることはよく知られている。 これは、3つ以上の粒子の座標が一致するときに相互作用が過度に強く魅力的になるためである。 そのような不安定性を避けるため、1962年にミンロスとファドデエフによって最初に定式化された提案を考案し、2つのシナリオにおいて2つの粒子の相互作用の強さを弱めるわずかに修正された境界条件を導入する。 (a) 3番目の粒子が$i$と$j$の共通位置に近づく。 (b)別の異なる一対の粒子が互いに接近する。 他のすべてのケースでは、通常の境界条件が復元される。 二次形式アプローチを用いて、このような修正された境界条件によって特徴づけられるハミルトン群のクラスを構築し、そのクラスは自己共役であり、下から有界である。 我々はまた、我々のアプローチを、ディリクレ形式(J. Math. Phys., 18, 907--917, 1977)の理論を用いて、Albeverio, H{\o}egh-Krohn, Streitによって数年前に開発されたものと比較する。 特に、Albeverio et al によって定義される$N$-body Hamiltonian は、我々のハミルトン群の特別な場合であることを示す。 さらに、より一般的な重み関数を考慮し、ディリクレ形式を導入し、対応する$N$ボディハミルトン多様体が本質的に我々の方法で構築されたものと一致することを証明した。

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