論文の概要: Quantum simulation of the Fokker-Planck equation via Schrodingerization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.13585v2
- Date: Wed, 24 Apr 2024 00:58:10 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-25 12:48:39.608448
- Title: Quantum simulation of the Fokker-Planck equation via Schrodingerization
- Title（参考訳）: シュロディンガー化によるフォッカー・プランク方程式の量子シミュレーション
- Authors: Shi Jin, Nana Liu, Yue Yu,
- Abstract要約: 本稿では,Fokker-Planck方程式を解くための量子シミュレーション手法について述べる。
我々はシュロディンガー化法(Schrodingerization method)を用いて、非エルミート力学を持つ任意の線型偏微分方程式と常微分方程式をシュロディンガー型方程式系に変換する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 33.76659022113328
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: This paper studies a quantum simulation technique for solving the Fokker-Planck equation. Traditional semi-discretization methods often fail to preserve the underlying Hamiltonian dynamics and may even modify the Hamiltonian structure, particularly when incorporating boundary conditions. We address this challenge by employing the Schrodingerization method-it converts any linear partial and ordinary differential equation with non-Hermitian dynamics into systems of Schrodinger-type equations. We explore the application in two distinct forms of the Fokker-Planck equation. For the conservation form, we show that the semi-discretization-based Schrodingerization is preferable, especially when dealing with non-periodic boundary conditions. Additionally, we analyze the Schrodingerization approach for unstable systems that possess positive eigenvalues in the real part of the coefficient matrix or differential operator. Our analysis reveals that the direct use of Schrodingerization has the same effect as a stabilization procedure. For the heat equation form, we propose a quantum simulation procedure based on the time-splitting technique. We discuss the relationship between operator splitting in the Schrodingerization method and its application directly to the original problem, illustrating how the Schrodingerization method accurately reproduces the time-splitting solutions at each step. Furthermore, we explore finite difference discretizations of the heat equation form using shift operators. Utilizing Fourier bases, we diagonalize the shift operators, enabling efficient simulation in the frequency space. Providing additional guidance on implementing the diagonal unitary operators, we conduct a comparative analysis between diagonalizations in the Bell and the Fourier bases, and show that the former generally exhibits greater efficiency than the latter.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,Fokker-Planck方程式を解くための量子シミュレーション手法について述べる。
従来の半離散化法は、基礎となるハミルトン力学の保存に失敗することが多く、特に境界条件を組み込んだ場合、ハミルトン構造を変更することもある。
我々は、シュロディンガー化法(Schrodingerization method)を用いて、非エルミート力学を持つ任意の線型偏微分方程式をシュロディンガー型方程式系に変換する。
この応用をフォッカー・プランク方程式の2つの異なる形式で検討する。
保存形態について、半離散化に基づくシュロディンガー化は特に非周期境界条件を扱う際に好ましいことを示す。
さらに、係数行列や微分作用素の実部において正の固有値を持つ不安定系に対するシュロディンガー化法を解析する。
本分析により,シュロディンガー化の直接的利用は安定化法と同じ効果を有することが明らかとなった。
熱方程式の形式として,時間分割法に基づく量子シミュレーション手法を提案する。
シュロディンガー化法における演算子分割と元の問題への直接適用の関係を考察し、シュロディンガー化法が各ステップにおける時間分割解を正確に再現する方法について述べる。
さらに、シフト演算子を用いた熱方程式形式の有限差分離散化について検討する。
フーリエ基底を用いてシフト演算子を対角化し、周波数空間の効率的なシミュレーションを可能にする。
対角ユニタリ作用素の実装に関する追加のガイダンスを提供することで、ベル基底とフーリエ基底における対角化の比較分析を行い、前者は後者よりも一般に高い効率を示すことを示す。
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