論文の概要: Error analysis for finite element operator learning methods for solving parametric second-order elliptic PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.17868v1
• Date: Sat, 27 Apr 2024 11:25:58 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-04-30 18:51:42.805814
• Title: Error analysis for finite element operator learning methods for solving parametric second-order elliptic PDEs
• Title（参考訳）: パラメトリック二階楕円型PDEの解法における有限要素演算子学習法の誤差解析
• Authors: Youngjoon Hong, Seungchan Ko, Jaeyong Lee,
• Abstract要約: 古典的有限要素近似に基づくデータ依存のない演算子学習法の理論解析を行う。 本手法の収束における有限要素行列の条件数の役割に対処する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.658853094888125
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this paper, we provide a theoretical analysis of a type of operator learning method without data reliance based on the classical finite element approximation, which is called the finite element operator network (FEONet). We first establish the convergence of this method for general second-order linear elliptic PDEs with respect to the parameters for neural network approximation. In this regard, we address the role of the condition number of the finite element matrix in the convergence of the method. Secondly, we derive an explicit error estimate for the self-adjoint case. For this, we investigate some regularity properties of the solution in certain function classes for a neural network approximation, verifying the sufficient condition for the solution to have the desired regularity. Finally, we will also conduct some numerical experiments that support the theoretical findings, confirming the role of the condition number of the finite element matrix in the overall convergence.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,有限要素演算ネットワーク(FEONet)と呼ばれる古典的有限要素近似に基づいて,データに依存しない演算子学習手法の理論的解析を行う。 まず、ニューラルネットワーク近似のパラメータに関して、この手法の一般二階線形楕円型PDEに対する収束性を確立する。 そこで本研究では,有限要素行列の収束における条件数の役割について述べる。 第二に、自己随伴ケースに対する明示的な誤差推定を導出する。 そこで、ニューラルネットワーク近似の特定の関数クラスにおける解の正則性について検討し、その解が所望の正則性を持つための十分な条件を検証する。 最後に、理論的な結果を支持する数値実験を行い、全体収束における有限要素行列の条件数の役割を確認する。

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