論文の概要: Learning Nonlinear Finite Element Solution Operators using Multilayer Perceptrons and Energy Minimization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.04596v2
- Date: Tue, 08 Jul 2025 19:01:16 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-10 15:30:51.96059
- Title: Learning Nonlinear Finite Element Solution Operators using Multilayer Perceptrons and Energy Minimization
- Title（参考訳）: 多層パーセプトロンとエネルギー最小化を用いた非線形有限要素解演算子の学習
- Authors: Mats G. Larson, Carl Lundholm, Anna Persson,
- Abstract要約: 偏微分方程式(PDE)による非線形問題に対する解演算子学習法を開発し,評価する。
アプローチは有限要素の離散化に基づいており、多層パーセプトロン(MLP)による解演算子を表現することを目的としている。
我々は,各要素に局所的にエネルギーを組み立てることに基づいて,効率的な並列化可能な学習アルゴリズムを定式化する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5898893619901381
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We develop and evaluate a method for learning solution operators to nonlinear problems governed by partial differential equations (PDEs). The approach is based on a finite element discretization and aims at representing the solution operator by a multilayer perceptron (MLP) that takes problem data variables as input and gives a prediction of the finite element solution as output. The variables will typically correspond to parameters in a parametrization of input data such as boundary conditions, coefficients, and right-hand sides. The output will be an approximation of the corresponding finite element solution, thus enabling support and enhancement by the standard finite element method (FEM) both theoretically and practically. The loss function is most often an energy functional and we formulate efficient parallelizable training algorithms based on assembling the energy locally on each element. For large problems, the learning process can be made more efficient by using only a small fraction of randomly chosen elements in the mesh in each iteration. The approach is evaluated on several relevant test cases, where learning the finite element solution operator turns out to be beneficial, both in its own right but also by combination with standard FEM theory and software.
- Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)に支配される非線形問題に対する解演算子学習法を開発し,評価する。
この手法は有限要素の離散化に基づいており、問題データ変数を入力とし、有限要素解を出力として予測する多層パーセプトロン(MLP)によって解演算子を表現することを目的としている。
変数は通常、境界条件、係数、右辺などの入力データのパラメトリゼーションのパラメータに対応する。
出力は対応する有限要素解の近似であり、理論上も実用上も標準有限要素法(FEM)の支持と強化を可能にする。
損失関数はエネルギー汎関数であり、各要素にエネルギーを局所的に組み立てることに基づいて効率よく並列化可能な訓練アルゴリズムを定式化する。
大きな問題に対して、各イテレーションでメッシュ内でランダムに選択された要素のごく一部を使用することで、学習プロセスをより効率的にすることができる。
このアプローチはいくつかの関連するテストケースで評価され、有限要素解作用素の学習は、それ自体が正しいだけでなく、標準FEM理論やソフトウェアと組み合わせることで有益であることが判明した。
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