論文の概要: Quantum algorithms for matrix geometric means
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.00673v1
- Date: Wed, 1 May 2024 17:58:11 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-02 14:57:49.240955
- Title: Quantum algorithms for matrix geometric means
- Title（参考訳）: 行列幾何学的手段の量子アルゴリズム
- Authors: Nana Liu, Qisheng Wang, Mark M. Wilde, Zhicheng Zhang,
- Abstract要約: 我々は新しい量子サブルーチンを考案し、標準行列の幾何平均を埋め込んだ量子ユニタリ演算子を作成する。
量子幾何平均距離学習と呼ばれる新しい量子学習アルゴリズムを提案する。
行列幾何学的な手段のためのこれらの量子サブルーチンは、他の量子情報の領域でも有用である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.711068952909118
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Matrix geometric means between two positive definite matrices can be defined equivalently from distinct perspectives - as solutions to certain nonlinear systems of equations, as points along geodesics in Riemannian geometry, and as solutions to certain optimisation problems. This diversity already suggests the potential for varied applications, as well as acting as a bridge between different domains. Here we devise new quantum subroutines to efficiently prepare quantum unitary operators that embed the standard matrix geometric mean and its generalisations called the weighted matrix geometric mean. This enables the construction of solutions to the algebraic Riccati equation, which is an important class of nonlinear systems of equations that appears in machine learning, optimal control, estimation, and filtering. Using these subroutines, we present a new class of quantum learning algorithms called quantum geometric mean metric learning. This has applications in efficiently finding the best distance measure and solving classification problems in the weakly supervised limit and for anomaly detection, for both classical and quantum problems. We also show how our method can be generalised to a particular p^th-order system of nonlinear equations. These quantum subroutines for matrix geometric means are also useful in other areas of quantum information. For example, we show how to use them in the estimation of geometric Renyi relative entropies and the Uhlmann fidelity by means of the Fuchs-Caves observable. In particular, our quantum algorithms for estimating the Uhlmann and Matsumoto fidelities have optimal dependence on the precision. Finally, we provide a BQP-complete problem based on matrix geometric means that can be solved by our subroutines, thus characterising their computational capability.
- Abstract（参考訳）: 行列幾何学とは、2つの正定値行列の間を、ある方程式の非線形系の解として、リーマン幾何学の測地線に沿った点として、そしてある最適化問題の解として、等しく定義することができる。
この多様性はすでに、異なるドメイン間のブリッジとして機能するだけでなく、様々なアプリケーションの可能性を示している。
ここでは、標準行列幾何学平均と、重み付き行列幾何学平均と呼ばれる一般化を組み込む量子ユニタリ作用素を効率的に作成するために、新しい量子サブルーチンを考案する。
これは、機械学習、最適制御、推定、フィルタリングに現れる方程式の非線形系の重要なクラスである代数的リカティ方程式の解の構築を可能にする。
これらのサブルーチンを用いて、量子幾何平均距離学習と呼ばれる新しい量子学習アルゴリズムを提示する。
これは、古典的および量子的問題の両方に対して、弱教師付き極限における最適距離測度と分類問題の解法と異常検出に有効である。
また, この手法を非線形方程式のp^階数系に一般化する方法を示す。
行列幾何学的な手段のためのこれらの量子サブルーチンは、他の量子情報の領域でも有用である。
例えば、幾何学的レニイ相対エントロピーとウルマン忠実度をFuchs-Caves観測により推定する方法を示す。
特に、Uhlmann と Matsumoto の忠実度を推定するための量子アルゴリズムは、精度に最適に依存する。
最後に,行列幾何学的手法に基づくBQP完全問題を提案する。
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