論文の概要: Elliptic curves over Hasse pairs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2406.03399v1
- Date: Wed, 5 Jun 2024 15:59:30 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-06-06 17:02:29.925794
- Title: Elliptic curves over Hasse pairs
- Title（参考訳）: ハッセ対上の楕円曲線
- Authors: Eleni Agathocleous, Antoine Joux, Daniele Taufer,
- Abstract要約: 我々は、$$q$の点を持つ$mathbbF_q$上で定義される楕円曲線の同型類の集合 $mathcalE_i$ の関係を研究する。
奇妙なハッセ対の場合、$q$がフェルマーまたはメルセンヌ素数の与えられたパワーであるとき、空のユニオン$mathcalE_i$の可能性を排除できない。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.676349883103404
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We call a pair of distinct prime powers $(q_1,q_2) = (p_1^{a_1},p_2^{a_2})$ a Hasse pair if $|\sqrt{q_1}-\sqrt{q_2}| \leq 1$. For such pairs, we study the relation between the set $\mathcal{E}_1$ of isomorphism classes of elliptic curves defined over $\mathbb{F}_{q_1}$ with $q_2$ points, and the set $\mathcal{E}_2$ of isomorphism classes of elliptic curves over $\mathbb{F}_{q_2}$ with $q_1$ points. When both families $\mathcal{E}_i$ contain only ordinary elliptic curves, we prove that their isogeny graphs are isomorphic. When supersingular curves are involved, we describe which curves might belong to these sets. We also show that if both the $q_i$'s are odd and $\mathcal{E}_1 \cup \mathcal{E}_2 \neq \emptyset$, then $\mathcal{E}_1 \cup \mathcal{E}_2$ always contains an ordinary elliptic curve. Conversely, if $q_1$ is even, then $\mathcal{E}_1 \cup \mathcal{E}_2$ may contain only supersingular curves precisely when $q_2$ is a given power of a Fermat or a Mersenne prime. In the case of odd Hasse pairs, we could not rule out the possibility of an empty union $\mathcal{E}_1 \cup \mathcal{E}_2$, but we give necessary conditions for such a case to exist. In an appendix, Moree and Sofos consider how frequently Hasse pairs occur using analytic number theory, making a connection with Andrica's conjecture on the difference between consecutive primes.
- Abstract（参考訳）: 一対の別個の素数 $(q_1,q_2) = (p_1^{a_1},p_2^{a_2})$ ハース対が$|\sqrt{q_1}-\sqrt{q_2}| \leq 1$ であるとき、我々は一対の別個の素数 $(q_1,q_2) = (p_1^{a_1},p_2^{a_2})$ と呼ぶ。
そのようなペアに対して、$\mathbb{F}_{q_1}$ で定義される楕円曲線の同型類集合 $\mathcal{E}_1$ と$q_1$ で定義される楕円曲線の同型類集合 $\mathcal{E}_2$ と、$\mathbb{F}_{q_2}$ で定義される楕円曲線の同型類集合 $\mathcal{E}_2$ の関係を研究する。
両方の族 $\mathcal{E}_i$ が通常の楕円曲線のみを含むとき、それらの同型グラフは同型であることを示す。
超特異曲線が関与する場合、どの曲線がこれらの集合に属するかを記述する。
また、$q_i$'s が奇数であり、$\mathcal{E}_1 \cup \mathcal{E}_2 \neq \emptyset$ であれば、$\mathcal{E}_1 \cup \mathcal{E}_2$ は常に通常の楕円曲線を含む。
逆に、$q_1$ が偶数であれば、$\mathcal{E}_1 \cup \mathcal{E}_2$ は、フェルマーあるいはメルセンヌ素数の与えられたパワーであるとき、正確には超特異曲線のみを含むことができる。
奇数のハッセ対の場合、空の和 $\mathcal{E}_1 \cup \mathcal{E}_2$ の可能性を排除できないが、そのような場合に必要な条件を与える。
付録の中で、モレとソフォスは、連続素数間の差についてアンドリカの予想と結びつく解析的数論を用いて、ハッセ対がどれだけ頻繁に起こるかを考える。
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