論文の概要: Incompressibility and spectral gaps of random circuits
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2406.07478v2
- Date: Tue, 9 Jul 2024 02:55:08 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-10 23:01:54.833143
- Title: Incompressibility and spectral gaps of random circuits
- Title（参考訳）: ランダム回路の非圧縮性とスペクトルギャップ
- Authors: Chi-Fang Chen, Jeongwan Haah, Jonas Haferkamp, Yunchao Liu, Tony Metger, Xinyu Tan,
- Abstract要約: 可逆回路と量子回路は、交互群 $mathrmAlt (2n)$ とユニタリ群 $mathrmSU (2n)$ のランダムウォークを形成する。
ランダム可逆回路のギャップは、すべての$tgeq 1$に対して$Omega(n-3)$であり、ランダム量子回路のギャップは$Omega(n-3)$ for $t leq Theta(2n/2)$であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.359282907257055
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Random reversible and quantum circuits form random walks on the alternating group $\mathrm{Alt}(2^n)$ and unitary group $\mathrm{SU}(2^n)$, respectively. Known bounds on the spectral gap for the $t$-th moment of these random walks have inverse-polynomial dependence in both $n$ and $t$. We prove that the gap for random reversible circuits is $\Omega(n^{-3})$ for all $t\geq 1$, and the gap for random quantum circuits is $\Omega(n^{-3})$ for $t \leq \Theta(2^{n/2})$. These gaps are independent of $t$ in the respective regimes. We can further improve both gaps to $n^{-1}/\mathrm{polylog}(n, t)$ for $t\leq 2^{\Theta(n)}$, which is tight up to polylog factors. Our spectral gap results have a number of consequences: 1) Random reversible circuits with $\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error $t$-wise independent (even) permutations for all $t\geq 1$; for $t \leq \Theta(2^{n/6.1})$, we show that $\tilde{\mathcal{O}}(n^2 t)$ gates suffice. 2) Random quantum circuits with $\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error unitary $t$-designs for $t \leq \Theta(2^{n/2})$; for $t\leq \Theta(2^{2n/5})$, we show that $\tilde{\mathcal{O}}(n^2t)$ gates suffice. 3) The robust quantum circuit complexity of random circuits grows linearly for an exponentially long time, proving the robust Brown--Susskind conjecture [BS18,BCHJ+21]. Our spectral gap bounds are proven by reducing random quantum circuits to a more structured walk: a modification of the ``$\mathrm{PFC}$ ensemble'' from [MPSY24] together with an expander on the alternating group due to Kassabov [Kas07a], for which we give an efficient implementation using reversible circuits. In our reduction, we approximate the structured walk with local random circuits without losing the gap, which uses tools from the study of frustration-free Hamiltonians.
- Abstract（参考訳）: ランダム可逆性と量子回路は、交互群 $\mathrm{Alt}(2^n)$ とユニタリ群 $\mathrm{SU}(2^n)$ のランダムウォークを形成する。
これらのランダムウォークの$t$-次モーメントのスペクトルギャップの既知の境界は、$n$と$t$の両方の逆多項式依存性を持つ。
ランダム可逆回路のギャップは、すべての$t\geq 1$に対して$Omega(n^{-3})$であり、ランダム量子回路のギャップは、$t \leq \Theta(2^{n/2})$に対して$Omega(n^{-3})$であることを示す。
これらのギャップは、それぞれのレギュレーションにおいて$t$とは独立である。
どちらのギャップも$n^{-1}/\mathrm{polylog}(n, t)$ for $t\leq 2^{\Theta(n)}$に改善できる。
1)$\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error $t$-wise independent (even) permutations for all $t\geq 1$; for $t \leq \Theta(2^{n/6.1})$, $\tilde{\mathcal{O}}(n^2 t)$ gates suffice。
2)$\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error unitary $t$-designs for $t \leq \Theta(2^{n/2})$; for $t\leq \Theta(2^{2n/5})$, that $\tilde{\mathcal{O}}(n^2t)$ gates suffice。
3) ランダム回路のロバストな量子回路の複雑さは指数関数的に長い時間直線的に増大し、ロバストなブラウン-ススキンド予想[BS18,BCHJ+21]が証明される。
我々のスペクトルギャップ境界は、ランダムな量子回路をより構造化されたウォークに還元することで証明される: [MPSY24] から ``$\mathrm{PFC}$ ensemble'' の修正と Kassabov [Kas07a] による交互群の拡張により、可逆回路を用いた効率的な実装を与える。
本研究では, フラストレーションを伴わないハミルトニアン研究のツールを用いて, ギャップを無くすことなく, 局所ランダム回路による構造ウォークを近似した。
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