論文の概要: Improved spectral gaps for random quantum circuits: large local
dimensions and all-to-all interactions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2012.05259v1
- Date: Wed, 9 Dec 2020 19:00:50 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-21 07:59:21.668264
- Title: Improved spectral gaps for random quantum circuits: large local
dimensions and all-to-all interactions
- Title（参考訳）: ランダム量子回路のスペクトルギャップの改善:大きな局所次元と全対全相互作用
- Authors: Jonas Haferkamp, Nicholas Hunter-Jones
- Abstract要約: 我々は、$D$のランダム量子回路がスペクトルギャップスケーリングを$Omega(n-1)$とすることを示し、$t$が局所次元と比較して小さいことを仮定する:$t2leq O(q)$。
2つ目の結果は、全ての相互作用を持つランダム量子回路に対して、以下に$Omega(n-1log-1(n) t-alpha(q))$で有界な非条件スペクトルギャップである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Random quantum circuits are a central concept in quantum information theory
with applications ranging from demonstrations of quantum computational
advantage to descriptions of scrambling in strongly-interacting systems and
black holes. The utility of random quantum circuits in these settings stems
from their ability to rapidly generate quantum pseudo-randomness. In a seminal
paper by Brand\~ao, Harrow, and Horodecki, it was proven that the $t$-th moment
operator of local random quantum circuits on $n$ qudits with local dimension
$q$ has a spectral gap of at least $\Omega(n^{-1}t^{-5-3.1/\log(q)})$, which
implies that they are efficient constructions of approximate unitary designs.
As a first result, we use Knabe bounds for the spectral gaps of
frustration-free Hamiltonians to show that $1D$ random quantum circuits have a
spectral gap scaling as $\Omega(n^{-1})$, provided that $t$ is small compared
to the local dimension: $t^2\leq O(q)$. This implies a (nearly) linear scaling
of the circuit depth in the design order $t$. Our second result is an
unconditional spectral gap bounded below by $\Omega(n^{-1}\log^{-1}(n)
t^{-\alpha(q)})$ for random quantum circuits with all-to-all interactions. This
improves both the $n$ and $t$ scaling in design depth for the non-local model.
We show this by proving a recursion relation for the spectral gaps involving an
auxiliary random walk. Lastly, we solve the smallest non-trivial case exactly
and combine with numerics and Knabe bounds to improve the constants involved in
the spectral gap for small values of $t$.
- Abstract（参考訳）: ランダム量子回路は量子情報理論の中心的な概念であり、量子計算の優位性の実証から、強相互作用系やブラックホールにおけるスクランブルの記述まで幅広い応用がある。
これらの設定におけるランダム量子回路の有用性は、量子擬似ランダム性を迅速に生成する能力に起因する。
Brand\~ao, Harrow, and Horodecki のセミナー論文では、局所量子回路の$t$-th moment operator of local random quantum circuits on $n$ qudits with local dimension $q$ has a spectrum gap of least $\Omega(n^{-1}t^{-5-3.1/\log(q)})$が証明されており、それらは近似ユニタリ設計の効率的な構成であることを示している。
最初の結果として、フラストレーションのないハミルトニアンのスペクトルギャップに対してknabe境界を用いて、1d$のランダム量子回路が$\omega(n^{-1})$のスペクトルギャップスケーリングを持つことを示す。
これは、回路深度の(ほぼ)線形スケーリングが設計オーダー$t$で表されることを意味する。
2つ目の結果は、全ての相互作用を持つランダム量子回路に対して$\Omega(n^{-1}\log^{-1}(n) t^{-\alpha(q)})$という条件のないスペクトルギャップである。
これにより、非ローカルモデルの設計深度が$n$と$t$の両方が改善される。
補助的なランダムウォークを含むスペクトルギャップに対する再帰関係を証明し,これを示す。
最後に、最小の非自明なケースを正確に解き、数値とknabe境界を組み合わせることで、t$の小さい値のスペクトルギャップに関連する定数を改善する。
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