論文の概要: Quantum Random Walks and Quantum Oscillator in an Infinite-Dimensional Phase Space

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2406.10699v1
• Date: Sat, 15 Jun 2024 17:39:32 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-06-18 23:14:08.706729
• Title: Quantum Random Walks and Quantum Oscillator in an Infinite-Dimensional Phase Space
• Title（参考訳）: 無限次元位相空間における量子ランダムウォークと量子オシレータ
• Authors: Vladimir Busovikov, Alexander Pechen, Vsevolod Sakbaev,
• Abstract要約: 座標と運動量演算子のワイル表現を用いた無限次元位相空間における量子ランダムウォークを考える。 我々は、その強い連続性の条件を見つけ、それらの発電機の特性を確立する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 45.9982965995401
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider quantum random walks in an infinite-dimensional phase space constructed using Weyl representation of the coordinate and momentum operators in the space of functions on a Hilbert space which are square integrable with respect to a shift-invariant measure. We study unitary groups of shift operators in the phase space and averaging of such shifts by Gaussian vectors, which form semigroups of self-adjoint contractions: we find conditions for their strong continuity and establish properties of their generators. Significant differences in their properties allow us to show the absence of the Fourier transform as a unitary transformation that implements the unitary equivalence of these compressive semigroups. Next, we prove the Taylor formula for a certain special subset of smooth functions for shifting to a non-finite vector. It allows us to prove convergence of quantum random walks in the coordinate representation to the evolution of a diffusion process, as well as convergence of quantum random walks in both coordinate and momentum representations to the evolution semigroup of a quantum oscillator in an infinite-dimensional phase space. We find the special essential common domain of generators of semigroups arising in averaging of random shift operators both in position and momentum representations. The invariance of this common domain with respect to both semigroups allows to establish properties of a convex combination of both generators. That convex combination are Hamiltonians of infinite-dimentional quantum oscillators. Thus, we obtain that a Weyl representation of a random walk in an infinite dimensional phase space describes the semigroup of self-adjoint contractions whose generator is the Hamiltonian of an infinite dimensional harmonic oscillator.
• Abstract（参考訳）: ヒルベルト空間上の函数空間における座標と運動量作用素のワイル表現を用いた無限次元位相空間における量子ランダムウォークを考える。 位相空間におけるシフト作用素のユニタリ群とガウスベクトルによるそのようなシフトの平均化について研究し、これは自己随伴収縮の半群を形成する。 それらの性質における重要な相違により、これらの圧縮半群のユニタリ同値性を実装するユニタリ変換としてフーリエ変換が存在しないことを示すことができる。 次に、非有限ベクトルにシフトする滑らかな函数の特定の特別な部分集合に対するテイラーの公式を証明する。 これにより、拡散過程の進化に対する座標表現における量子ランダムウォークの収束を証明できるだけでなく、座標および運動量表現における量子ランダムウォークの収束を無限次元位相空間における量子発振器の進化半群に証明することができる。 位置および運動量表現におけるランダムシフト作用素の平均化に起因した半群の生成体の特別な必須共通領域を求める。 この共通領域の両半群に対する不変性は、両方のジェネレータの凸結合の性質を確立することができる。 この凸結合は無限次元量子振動子のハミルトン多様体である。 したがって、無限次元位相空間におけるランダムウォークのワイル表現は、生成元が無限次元調和振動子のハミルトニアンである自己随伴収縮の半群を記述する。

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