論文の概要: Carleman linearization based efficient quantum algorithm for higher
order polynomial differential equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.10775v1
- Date: Wed, 21 Dec 2022 05:21:52 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-09 06:41:16.495957
- Title: Carleman linearization based efficient quantum algorithm for higher
order polynomial differential equations
- Title（参考訳）: カールマン線形化に基づく高次多項式微分方程式の効率的な量子アルゴリズム
- Authors: Amit Surana, Abeynaya Gnanasekaran and Tuhin Sahai
- Abstract要約: 量子プラットフォーム上で任意の次数ベクトル場を持つ非線形微分方程式をシミュレートする効率的な量子アルゴリズムを提案する。
通常の微分方程式(ODE)や偏微分方程式(PDE)によって支配される物理系のモデルは、古典的なコンピュータでは解決が難しい。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.707154152696381
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We present an efficient quantum algorithm to simulate nonlinear differential
equations with polynomial vector fields of arbitrary degree on quantum
platforms. Models of physical systems that are governed by ordinary
differential equations (ODEs) or partial differential equation (PDEs) can be
challenging to solve on classical computers due to high dimensionality,
stiffness, nonlinearities, and sensitive dependence to initial conditions. For
sparse $n$-dimensional linear ODEs, quantum algorithms have been developed
which can produce a quantum state proportional to the solution in poly(log(nx))
time using the quantum linear systems algorithm (QLSA). Recently, this
framework was extended to systems of nonlinear ODEs with quadratic polynomial
vector fields by applying Carleman linearization that enables the embedding of
the quadratic system into an approximate linear form. A detailed complexity
analysis was conducted which showed significant computational advantage under
certain conditions. We present an extension of this algorithm to deal with
systems of nonlinear ODEs with $k$-th degree polynomial vector fields for
arbitrary (finite) values of $k$. The steps involve: 1) mapping the $k$-th
degree polynomial ODE to a higher dimensional quadratic polynomial ODE; 2)
applying Carleman linearization to transform the quadratic ODE to an
infinite-dimensional system of linear ODEs; 3) truncating and discretizing the
linear ODE and solving using the forward Euler method and QLSA. Alternatively,
one could apply Carleman linearization directly to the $k$-th degree polynomial
ODE, resulting in a system of infinite-dimensional linear ODEs, and then apply
step 3. This solution route can be computationally more efficient. We present
detailed complexity analysis of the proposed algorithms, prove polynomial
scaling of runtime on $k$ and demonstrate the framework on an example.
- Abstract（参考訳）: 量子プラットフォーム上で任意の次数多項式ベクトル場を持つ非線形微分方程式をシミュレートする効率的な量子アルゴリズムを提案する。
通常の微分方程式(ODE)や偏微分方程式(PDE)によって支配される物理系のモデルは、高次元性、剛性、非線形性、初期条件への敏感な依存のため、古典的なコンピュータでは解決が難しい。
スパース$n$次元線形ODEでは、ポリ(log(nx))時間に比例した量子状態を生成する量子アルゴリズムが、QLSA(quantum linear systems algorithm)を用いて開発された。
近年、この枠組みは二次多項式ベクトル場を持つ非線形 ode の系に拡張され、二次系を近似線型形式に埋め込むことができるカールマン線型化を適用した。
特定の条件下で計算上の優位性を示す詳細な複雑性解析を行った。
任意の(有限)値に対して$k$-次多項式ベクトル場を持つ非線形ODEのシステムを扱うために,このアルゴリズムの拡張を提案する。
ステップは以下の通り。
1)$k$-次多項式ODEを高次元二次多項式ODEにマッピングする。
2) カルマン線型化を適用して二次ODEを線形ODEの無限次元系に変換する。
3) 線形ODEの切り抜きと離散化, forward Euler法とQLSAを用いた解法。
あるいは、カールマン線型化を$k$-次多項式ODEに直接適用して、無限次元線型ODEの系を作り、ステップ3を適用することもできる。
この解法はより効率的に計算できる。
提案するアルゴリズムの詳細な複雑性解析を行い,$k$でのランタイムの多項式スケーリングを証明し,そのフレームワークを例に示す。
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