論文の概要: Quantum set theory: Equality and order of internal reals defined through different quantum conditionals

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.18347v1
• Date: Thu, 24 Oct 2024 00:56:43 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-25 16:42:49.385519
• Title: Quantum set theory: Equality and order of internal reals defined through different quantum conditionals
• Title（参考訳）: 量子集合論:異なる量子条件によって定義される内部実数の等式と順序
• Authors: Masanao Ozawa,
• Abstract要約: 量子論における実験的な概念の分析から条件の形式がどのように従うかを示す。 上記の条件のそれぞれについて、我々は以前に量子集合論の解釈を紹介した。 上述の3つの条件の中で、内部実数の外部的に定義された集合がそれぞれの選択に同一であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: In quantum logic, there is a well-known arbitrariness in choosing a binary operation for conditionals. We currently have three candidates: the Sasaki conditional, the contrapositive Sasaki conditional, and the relevance conditional. A fundamental problem is to show how the form of the conditional follows from an analysis of experimental concepts in quantum theory. Here, we attempt such an analysis through quantum set theory. For each of the above conditionals, we previously introduced an interpretation of quantum set theory, a quantum logical truth value assignment to every set-theoretical statement, that satisfies both the full forms of De Morgan's laws and the transfer principle. In the present study, we explore the structure of the internal reals based on the new interpretations with different conditionals. We show that the externally defined set of the internal reals is identical for each choice among the above three conditionals, and that for the logic represented by a projection lattice on a Hilbert space, the internal reals are in one-to-one correspondence with the self-adjoint operators (or equivalently, quantum observables) affiliated with the von Neumann algebra generated by the logic. Moreover, we show that the truth values for their equality are also irrespective of the choice among the conditionals. Interestingly, however, the truth values for the order relation significantly depend on the underlying conditionals, whereas the order relation holds with the full truth value if and only if their corresponding self-adjoint operators satisfy Olson's spectral order relation irrespective of the choice of the conditional. We describe the difference of the interpretations of the order relation for two internal reals in terms of the order relation, well defined in quantum mechanics, of outcomes from the successive projective measurements of the corresponding two quantum observables.
• Abstract（参考訳）: 量子論理学において、条件に対する二項演算を選択する際には、よく知られた任意性が存在する。 現在,佐々木条件,非陽性佐々木条件,関連条件の3つの候補がある。 基本的な問題は、量子論における実験的な概念の分析から条件の形式がどのように従うかを示すことである。 ここでは、量子集合論を通してそのような分析を試みる。 上記の条件のそれぞれについて、我々は以前、デ・モーガンの法則の完全形式と転移原理の両方を満たす全ての集合論の量子論理的真理値代入である量子集合論の解釈を導入した。 本研究では,異なる条件による新たな解釈に基づく内部実数の構造について検討する。 上記の3つの条件の中で、内実数の外部的に定義された集合は同一であり、ヒルベルト空間上の射影格子で表される論理に対して、内実数は、論理によって生成されるフォン・ノイマン代数に付随する自己随伴作用素(または同値の量子可観測性)と一対一の対応にあることを示す。 さらに,それらの等式に対する真理値も条件間の選択によらないことを示す。 興味深いことに、順序関係の真理値が基礎となる条件に大きく依存するのに対して、順序関係が完全真理値と一致するのは、その対応する自己随伴作用素が条件の選択に関係なくオルソンのスペクトル順序関係を満たすことである。 本稿では、2つの内部実数に対する順序関係の解釈の差について、量子力学でよく定義された順序関係と、対応する2つの量子可観測体の連続射影測定結果との相違について述べる。

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