論文の概要: Approximate Fiber Product: A Preliminary Algebraic-Geometric Perspective on Multimodal Embedding Alignment
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.00373v1
- Date: Sat, 30 Nov 2024 06:45:13 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-12-04 15:47:51.710215
- Title: Approximate Fiber Product: A Preliminary Algebraic-Geometric Perspective on Multimodal Embedding Alignment
- Title（参考訳）: Approximate Fiber Product:Multimodal Embedding Alignmentにおける予備的代数幾何学的視点
- Authors: Dongfang Zhao,
- Abstract要約: 画像テキスト検索や生成などのマルチモーダルタスクでは、様々なモダリティから共有表現空間にデータを埋め込む必要がある。
本稿では,代数をマルチモーダル表現学習に統合する試みについて述べる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3824176915623292
- License:
- Abstract: Multimodal tasks, such as image-text retrieval and generation, require embedding data from diverse modalities into a shared representation space. Aligning embeddings from heterogeneous sources while preserving shared and modality-specific information is a fundamental challenge. This paper provides an initial attempt to integrate algebraic geometry into multimodal representation learning, offering a foundational perspective for further exploration. We model image and text data as polynomials over discrete rings, \( \mathbb{Z}_{256}[x] \) and \( \mathbb{Z}_{|V|}[x] \), respectively, enabling the use of algebraic tools like fiber products to analyze alignment properties. To accommodate real-world variability, we extend the classical fiber product to an approximate fiber product with a tolerance parameter \( \epsilon \), balancing precision and noise tolerance. We study its dependence on \( \epsilon \), revealing asymptotic behavior, robustness to perturbations, and sensitivity to embedding dimensionality. Additionally, we propose a decomposition of the shared embedding space into orthogonal subspaces, \( Z = Z_s \oplus Z_I \oplus Z_T \), where \( Z_s \) captures shared semantics, and \( Z_I \), \( Z_T \) encode modality-specific features. This decomposition is geometrically interpreted via manifolds and fiber bundles, offering insights into embedding structure and optimization. This framework establishes a principled foundation for analyzing multimodal alignment, uncovering connections between robustness, dimensionality allocation, and algebraic structure. It lays the groundwork for further research on embedding spaces in multimodal learning using algebraic geometry.
- Abstract（参考訳）: 画像テキスト検索や生成などのマルチモーダルタスクでは、様々なモダリティから共有表現空間にデータを埋め込む必要がある。
不均一ソースからの埋め込みの調整と共有情報とモダリティ固有情報の保存は、根本的な課題である。
本稿では,代数幾何学をマルチモーダル表現学習に統合するための最初の試みについて述べる。
画像とテキストデータをそれぞれ離散環上の多項式である \( \mathbb{Z}_{256}[x] \) と \( \mathbb{Z}_{|V|}[x] \) としてモデル化し、繊維製品のような代数的ツールを用いてアライメント特性を解析する。
実世界の変動性に対応するため、古典繊維積を許容パラメータ \( \epsilon \) で近似ファイバー積に拡張し、精度と耐雑音性のバランスをとる。
本研究では, 漸近的挙動, 摂動に対する頑健性, 次元の埋め込みに対する感受性を明らかにする。
さらに、共有埋め込み空間を直交部分空間に分解する: \( Z = Z_s \oplus Z_I \oplus Z_T \) ここで \( Z_s \) は共有意味論を捉え、 \( Z_I \), \( Z_T \) はモダリティ固有の特徴を符号化する。
この分解は多様体やファイバー束を通じて幾何学的に解釈され、埋め込み構造と最適化に関する洞察を提供する。
このフレームワークは、マルチモーダルアライメントを解析し、ロバスト性、次元割り当て、代数構造の間の関係を明らかにするための原則的基盤を確立する。
代数幾何学を用いたマルチモーダル学習における埋め込み空間の研究の基盤となる。
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