論文の概要: Sum-of-Squares Programming for Ma-Trudinger-Wang Regularity of Optimal Transport Maps

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.13372v1
• Date: Tue, 17 Dec 2024 23:10:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-23 19:51:03.728686
• Title: Sum-of-Squares Programming for Ma-Trudinger-Wang Regularity of Optimal Transport Maps
• Title（参考訳）: 最適輸送図のMa-Trudinger-Wang正則性に対する二乗計画法
• Authors: Sachin Shivakumar, Georgiy A. Bondar, Gabriel Khan, Abhishek Halder,
• Abstract要約: MTWテンソルに対して非負性証明を提供する,証明可能な計算手法を提案する。 本手法はMTW非負性領域の内積近似の計算にも有効であることを示す。 提案したSOSプログラミング手法をいくつかの実用的な地価関数に適用して,対応する最適輸送マップの規則性の領域を近似する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.40498500266986387
• License:
• Abstract: For a given ground cost, approximating the Monge optimal transport map that pushes forward a given probability measure onto another has become a staple in several modern machine learning algorithms. The fourth-order Ma-Trudinger-Wang (MTW) tensor associated with this ground cost function provides a notion of curvature in optimal transport. The non-negativity of this tensor plays a crucial role for establishing continuity for the Monge optimal transport map. It is, however, generally difficult to analytically verify this condition for any given ground cost. To expand the class of cost functions for which MTW non-negativity can be verified, we propose a provably correct computational approach which provides certificates of non-negativity for the MTW tensor using Sum-of-Squares (SOS) programming. We further show that our SOS technique can also be used to compute an inner approximation of the region where MTW non-negativity holds. We apply our proposed SOS programming method to several practical ground cost functions to approximate the regions of regularity of their corresponding optimal transport maps.
• Abstract（参考訳）: 所定の地上費用のために、与えられた確率測度を他の確率測度に推し進めるMongeの最適輸送マップを近似することは、現代の機械学習アルゴリズムにおいて必須となっている。 この地価関数に付随する4階Ma-Trudinger-Wang(MTW)テンソルは、最適輸送における曲率の概念を提供する。 このテンソルの非負性は、モンジュ最適輸送写像の連続性を確立する上で重要な役割を果たす。 しかし、一般に、この条件を任意の地上費用で解析的に検証することは困難である。 MTWの非負性検証が可能なコスト関数のクラスを拡大するために,SOS(Sum-of-Squares)プログラミングを用いてMTWテンソルに対して非負性証明を提供する,確率的に正しい計算手法を提案する。 さらに,本手法はMTW非負性領域の内部近似の計算にも有効であることを示す。 提案したSOSプログラミング手法をいくつかの実用的な地価関数に適用して,対応する最適輸送マップの規則性の領域を近似する。

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