論文の概要: Long-Time Behavior of Typical Pure States from Thermal Equilibrium Ensembles

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.16666v1
• Date: Sat, 21 Dec 2024 15:28:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-24 15:55:51.594423
• Title: Long-Time Behavior of Typical Pure States from Thermal Equilibrium Ensembles
• Title（参考訳）: 熱平衡アンサンブルからの典型的純物の長時間挙動
• Authors: Cornelia Vogel,
• Abstract要約: 我々は、純状態 $psi_tinmathcalH$ における孤立したマクロ量子系を、分離可能なヒルベルト空間 $mathcalH$ において一元的に進化すると考える。 本研究は, この結果の均一分布から, GAP測度と呼ばれる, より一般的な測度へと一般化するものである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: We consider an isolated macroscopic quantum system in a pure state $\psi_t\in\mathcal{H}$ evolving unitarily in a separable Hilbert space $\mathcal{H}$. Following von Neumann [46], we assume that different macro states $\nu$ correspond to mutually orthogonal subspaces $\mathcal{H}_\nu\subset\mathcal{H}$. Let $P_\nu$ be the projection to $\mathcal{H}_\nu$. ''Normal typicality'' is the statement (true for some Hamiltonians) that for all initial states $\psi_0\in\mathcal{H}$ and most $t\geq 0$, $\|P_\nu\psi_t\|^2$ is close to $d_\nu/D$, where $d_\nu=\dim\mathcal{H}_\nu$ and $D=\dim\mathcal{H}<\infty$. It can be shown [42] that the statement becomes valid for all Hamiltonians if ''all $\psi_0\in\mathcal{H}$'' is replaced by ''most $\psi_0\in\mathcal{H}_\mu$'' (most w.r.t. the uniform distribution on the sphere of $\mathcal{H}_\mu$) with an arbitrary macro state $\mu$ and $d_\nu/D$ by a $t$- and $\psi_0$-independent quantity $M_{\mu\nu}$. In the present work, we generalize this result from the uniform distribution to a much more general class of measures, so-called GAP measures. Let $\rho$ be a density matrix on $\mathcal{H}$. Then GAP$(\rho)$ is the most spread out distribution on the sphere of $\mathcal{H}$ with density matrix $\rho$. If $\rho$ is a canonical density matrix, GAP$(\rho)$ arises as the thermal equilibrium distribution of wave functions and can be viewed as a quantum analog of the canonical ensemble. We show that also for GAP$(\rho)$-most $\psi_0\in\mathcal{H}$, the superposition weight $\|P_\nu\psi_t\|^2$ is close to a fixed value $M_{\rho P_\nu}$ for most $t\geq0$. Moreover, we prove a similar result for arbitrary bounded operators $B$ instead of $P_\nu$ and for finite times. The main ingredient of the proof is an improvement of bounds on the variance of $\langle\psi|B|\psi\rangle$ w.r.t. GAP$(\rho)$ which were first obtained by Reimann [29] and slightly generalized in [44].
• Abstract（参考訳）: 純粋な状態 $\psi_t\in\mathcal{H}$ の孤立したマクロ量子系を、分離可能なヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の単位的に進化させる。 von Neumann [46] に続いて、異なるマクロ状態 $\nu$ は相互直交部分空間 $\mathcal{H}_\nu\subset\mathcal{H}$ に対応すると仮定する。 P_\nu$ を $\mathcal{H}_\nu$ への射影とする。 例えば、すべての初期状態に対して $\psi_0\in\mathcal{H}$ と most $t\geq 0$, $\|P_\nu\psi_t\|^2$ は $d_\nu/D$ に近く、$d_\nu=\dim\mathcal{H}_\nu$ と $D=\dim\mathcal{H}<\infty$ は $d_\nu/D$ に近い。 もし ''all $\psi_0\in\mathcal{H}$'' が ''most $\psi_0\in\mathcal{H}_\mu$'' に置き換われば、任意のマクロ状態 $\mu$ と $d_\nu/D$ が $t$- と $\psi_0$-独立量 $M_{\mu\nu}$' に置き換わることを示すことができる。 本研究は, この結果の均一分布から, GAP測度と呼ばれる, より一般的な測度へと一般化するものである。 $\rho$ を $\mathcal{H}$ 上の密度行列とする。 このとき、GAP$(\rho)$ は密度行列 $\rho$ を持つ$\mathcal{H}$ の球面上で最も広がる分布である。 もし$\rho$が正準密度行列であれば、GAP$(\rho)$は波動関数の熱平衡分布として現れ、正準アンサンブルの量子アナログと見なすことができる。 GAP$(\rho)$-most $\psi_0\in\mathcal{H}$ に対し、重ね合わせ重み $\|P_\nu\psi_t\|^2$ は、ほとんどの$t\geq0$ に対して、固定値 $M_{\rho P_\nu}$ に近いことを示す。 さらに、任意の有界作用素に対して$P_\nu$の代わりに$B$と有限時間に対して同様の結果を示す。 証明の主成分は$\langle\psi|B|\psi\rangle$ w.r.t. GAP$(\rho)$の分散に関する境界の改善である。

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