論文の概要: Approximation Rates in Fréchet Metrics: Barron Spaces, Paley-Wiener Spaces, and Fourier Multipliers
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.04023v2
- Date: Tue, 14 Jan 2025 13:40:35 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-01-15 13:25:52.418745
- Title: Approximation Rates in Fréchet Metrics: Barron Spaces, Paley-Wiener Spaces, and Fourier Multipliers
- Title（参考訳）: フレシェ計量における近似速度:バロン空間、パリー・ウィーナー空間、フーリエ乗数
- Authors: Ahmed Abdeljawad, Thomas Dittrich,
- Abstract要約: フーリエ領域の対応する記号を近似することで線形微分作用素の一般近似機能について検討する。
その意味で、近似誤差をFr'echetメートル法で測定する。
すると、我々は主定理の自然な拡張に焦点を合わせ、そこでは半ノルムの列の仮定を小さくすることができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.4732811715354452
- License:
- Abstract: Operator learning is a recent development in the simulation of Partial Differential Equations (PDEs) by means of neural networks. The idea behind this approach is to learn the behavior of an operator, such that the resulting neural network is an (approximate) mapping in infinite-dimensional spaces that is capable of (approximately) simulating the solution operator governed by the PDE. In our work, we study some general approximation capabilities for linear differential operators by approximating the corresponding symbol in the Fourier domain. Analogous to the structure of the class of H\"ormander-Symbols, we consider the approximation with respect to a topology that is induced by a sequence of semi-norms. In that sense, we measure the approximation error in terms of a Fr\'echet metric, and our main result identifies sufficient conditions for achieving a predefined approximation error. Secondly, we then focus on a natural extension of our main theorem, in which we manage to reduce the assumptions on the sequence of semi-norms. Based on existing approximation results for the exponential spectral Barron space, we then present a concrete example of symbols that can be approximated well.
- Abstract（参考訳）: 演算子学習は、ニューラルネットワークによる部分微分方程式(PDE)のシミュレーションにおける最近の発展である。
このアプローチの背景にある考え方は、PDEが支配する解作用素を(およそ)シミュレートできる無限次元空間における(近似的な)写像であるような作用素の振る舞いを学ぶことである。
本研究では、フーリエ領域の対応する記号を近似することにより、線形微分作用素の一般近似機能について検討する。
H\"ormander-Symbols のクラスの構造に類似して、半ノルム列によって誘導される位相に関する近似を考える。
その意味では、Fr'echetメートル法を用いて近似誤差を測定し、本研究の主な結果は、予め定義された近似誤差を達成するのに十分な条件を特定する。
次に、我々は主定理の自然な拡張に焦点を合わせ、そこでは半ノルムの列上の仮定を小さくする。
指数スペクトルバロン空間に対する既存の近似結果に基づいて、よく近似できる記号の具体的な例を示す。
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