論文の概要: Space-Time Approximation with Shallow Neural Networks in Fourier Lebesgue spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.08461v1
• Date: Wed, 13 Dec 2023 19:02:27 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-12-16 02:57:38.614204
• Title: Space-Time Approximation with Shallow Neural Networks in Fourier Lebesgue spaces
• Title（参考訳）: フーリエ・ルベーグ空間における浅層ニューラルネットワークによる時空近似
• Authors: Ahmed Abdeljawad, Thomas Dittrich
• Abstract要約: ボヒナー・ソボレフ空間における異方性重み付きフーリエ・ルベーグ空間の包含について検討する。 異方性重み付きフーリエ・ルベーグ空間からの関数の近似率とボヒナー・ソボレフノルムのSNNによる近似の有界性を確立する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.74048653626208
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Approximation capabilities of shallow neural networks (SNNs) form an integral part in understanding the properties of deep neural networks (DNNs). In the study of these approximation capabilities some very popular classes of target functions are the so-called spectral Barron spaces. This spaces are of special interest when it comes to the approximation of partial differential equation (PDE) solutions. It has been shown that the solution of certain static PDEs will lie in some spectral Barron space. In order to alleviate the limitation to static PDEs and include a time-domain that might have a different regularity than the space domain, we extend the notion of spectral Barron spaces to anisotropic weighted Fourier-Lebesgue spaces. In doing so, we consider target functions that have two blocks of variables, among which each block is allowed to have different decay and integrability properties. For these target functions we first study the inclusion of anisotropic weighted Fourier-Lebesgue spaces in the Bochner-Sobolev spaces. With that we can now also measure the approximation error in terms of an anisotropic Sobolev norm, namely the Bochner-Sobolev norm. We use this observation in a second step where we establish a bound on the approximation rate for functions from the anisotropic weighted Fourier-Lebesgue spaces and approximation via SNNs in the Bochner-Sobolev norm.
• Abstract（参考訳）: 浅いニューラルネットワーク(SNN)の近似能力は、ディープニューラルネットワーク(DNN)の性質を理解する上で不可欠な部分を形成する。 これらの近似能力の研究において、対象関数の非常に人気のあるクラスはいわゆるスペクトルバロン空間である。 この空間は偏微分方程式(PDE)解の近似に関して特に興味深い。 ある種の静的PDEの解はある種のスペクトルバロン空間に存在することが示されている。 静的な pdes への制限を緩和し、空間領域と異なる正則性を持つ時間領域を含むために、スペクトルバロン空間の概念を異方性重み付きフーリエ・ルベーグ空間へと拡張する。 そのような場合、変数の2つのブロックを持つ対象関数について検討し、それぞれのブロックが異なる減衰と可積分性を持つことを許容する。 これらの対象函数に対して、まずボヒナー・ソボレフ空間における異方性重み付きフーリエ・ルベーグ空間の包含について研究する。 これにより、近似誤差を異方性ソボレフノルム、すなわちボヒナー・ソボレフノルムを用いて測定することができる。 我々はこの観測を、異方性重み付きフーリエ・ルベーグ空間からの関数の近似率とボヒナー・ソボレフノルムにおけるsnsによる近似のバウンドを定める第二のステップで用いる。

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