論文の概要: Solving Roughly Forced Nonlinear PDEs via Misspecified Kernel Methods and Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.17110v1
• Date: Tue, 28 Jan 2025 17:58:01 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-29 16:40:00.901077
• Title: Solving Roughly Forced Nonlinear PDEs via Misspecified Kernel Methods and Neural Networks
• Title（参考訳）: 不特定カーネル法とニューラルネットワークによる粗強制非線形PDEの解法
• Authors: Matthieu Darcy, Edoardo Calvello, Ricardo Baptista, Houman Owhadi, Andrew M. Stuart, Xianjin Yang,
• Abstract要約: 非線形偏微分方程式 (PDE) の解を数値的に近似するためにガウス過程 (GP) やニューラルネットワーク (NN) を用いる。 本稿では,GPカーネルのオーバースムース化による収束保証を保ちながら,大まかに強制された非線形PDEを扱う手法の一般化を提案する。 これは、PDE制約上の経験的$L2$-lossを経験的負ソボレフノルムに置き換えることと同値である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.1895609521267563
• License:
• Abstract: We consider the use of Gaussian Processes (GPs) or Neural Networks (NNs) to numerically approximate the solutions to nonlinear partial differential equations (PDEs) with rough forcing or source terms, which commonly arise as pathwise solutions to stochastic PDEs. Kernel methods have recently been generalized to solve nonlinear PDEs by approximating their solutions as the maximum a posteriori estimator of GPs that are conditioned to satisfy the PDE at a finite set of collocation points. The convergence and error guarantees of these methods, however, rely on the PDE being defined in a classical sense and its solution possessing sufficient regularity to belong to the associated reproducing kernel Hilbert space. We propose a generalization of these methods to handle roughly forced nonlinear PDEs while preserving convergence guarantees with an oversmoothing GP kernel that is misspecified relative to the true solution's regularity. This is achieved by conditioning a regular GP to satisfy the PDE with a modified source term in a weak sense (when integrated against a finite number of test functions). This is equivalent to replacing the empirical $L^2$-loss on the PDE constraint by an empirical negative-Sobolev norm. We further show that this loss function can be used to extend physics-informed neural networks (PINNs) to stochastic equations, thereby resulting in a new NN-based variant termed Negative Sobolev Norm-PINN (NeS-PINN).
• Abstract（参考訳）: 我々はガウス過程 (GP) やニューラルネットワーク (NN) を用いて、非線形偏微分方程式 (PDE) の解を粗い強制あるいはソース項で数値的に近似する。 カーネル法は、最近一般化され、それらの解を有限のコロケーション点の集合でPDEを満たすように条件付けられたGPの最大アフター推定子として近似することで非線形PDEを解く。 しかし、これらの方法の収束と誤差の保証は、古典的な意味で定義されるPDEと、関連する再生カーネルヒルベルト空間に属するのに十分な正則性を持つ解に依存している。 本稿では, ほぼ強制された非線形PDEを扱うために, 真の解の正則性に対して不特定な過度なGPカーネルで収束保証を保ちながら, これらの手法の一般化を提案する。 これは、(有限個のテスト関数に対して統合された場合)弱い意味で、修正されたソース項でPDEを満たすように正規GPを条件付けることで達成される。 これは、PDE制約上の経験的$L^2$-lossを経験的負ソボレフノルムで置き換えることと同値である。 さらに,この損失関数を用いて,物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を確率方程式に拡張することにより,ニューラルネットに基づくNorm-PINN (Negative Sobolev Norm-PINN) と呼ばれる新しい変種が得られることを示す。

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