論文の概要: Neural Implicit Solution Formula for Efficiently Solving Hamilton-Jacobi Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.19351v1
• Date: Fri, 31 Jan 2025 17:56:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-03 14:01:04.582260
• Title: Neural Implicit Solution Formula for Efficiently Solving Hamilton-Jacobi Equations
• Title（参考訳）: ハミルトン・ヤコビ方程式の効率的な解法
• Authors: Yesom Park, Stanley Osher,
• Abstract要約: ハミルトン・ヤコビ偏微分方程式(HJ PDE)に対して暗黙解公式が提示される この暗黙の解公式を学習するために,ディープラーニングに基づく方法論を提案する。 状態依存ハミルトニアンの特性曲線を近似するアルゴリズムを開発した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: This paper presents an implicit solution formula for the Hamilton-Jacobi partial differential equation (HJ PDE). The formula is derived using the method of characteristics and is shown to coincide with the Hopf and Lax formulas in the case where either the Hamiltonian or the initial function is convex. It provides a simple and efficient numerical approach for computing the viscosity solution of HJ PDEs, bypassing the need for the Legendre transform of the Hamiltonian or the initial condition, and the explicit computation of individual characteristic trajectories. A deep learning-based methodology is proposed to learn this implicit solution formula, leveraging the mesh-free nature of deep learning to ensure scalability for high-dimensional problems. Building upon this framework, an algorithm is developed that approximates the characteristic curves piecewise linearly for state-dependent Hamiltonians. Extensive experimental results demonstrate that the proposed method delivers highly accurate solutions, even for nonconvex Hamiltonians, and exhibits remarkable scalability, achieving computational efficiency for problems up to 40 dimensions.
• Abstract（参考訳）: 本稿ではハミルトン・ヤコビ偏微分方程式(HJ PDE)の暗黙解公式を提案する。 この式は特性の方法を用いて導出され、ハミルトニアンあるいは初期関数が凸である場合のホップ公式やラックス公式と一致することが示されている。 HJ PDEの粘性解を計算するための単純で効率的な数値的なアプローチを提供し、ハミルトンあるいは初期条件のルジャンドル変換の必要性を回避し、個々の特性軌跡の明示的な計算を行う。 この暗黙の解法を学習するために,ディープラーニングのメッシュフリーな性質を活用して高次元問題に対するスケーラビリティを確保するために,ディープラーニングに基づく手法を提案する。 この枠組みに基づいて、状態依存ハミルトニアンに対して特徴曲線を一方向に近似するアルゴリズムが開発された。 大規模な実験結果から,提案手法は非凸ハミルトニアンに対しても高精度な解を提供し,最大40次元の計算効率を達成し,優れた拡張性を示した。

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