論文の概要: Numerically Solving Parametric Families of High-Dimensional Kolmogorov Partial Differential Equations via Deep Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2011.04602v1
• Date: Mon, 9 Nov 2020 17:57:11 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-09-28 00:42:05.692893
• Title: Numerically Solving Parametric Families of High-Dimensional Kolmogorov Partial Differential Equations via Deep Learning
• Title（参考訳）: 深層学習による高次元コルモゴロフ偏微分方程式のパラメトリックファミリーの数値解法
• Authors: Julius Berner, Markus Dablander, Philipp Grohs
• Abstract要約: 高次元線形コルモゴロフ偏微分方程式(PDE)のパラメトリック族に対する数値解のディープラーニングアルゴリズムを提案する。 本手法は,Fynman-Kac式を用いた1つの統計的学習問題として,コルモゴロフ PDE の族全体の数値近似を再構成した。 シミュレーションデータに基づいてトレーニングされた1つのディープニューラルネットワークが、全時空領域のPDEファミリー全体の解関数を学習可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.019491256870557
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We present a deep learning algorithm for the numerical solution of parametric families of high-dimensional linear Kolmogorov partial differential equations (PDEs). Our method is based on reformulating the numerical approximation of a whole family of Kolmogorov PDEs as a single statistical learning problem using the Feynman-Kac formula. Successful numerical experiments are presented, which empirically confirm the functionality and efficiency of our proposed algorithm in the case of heat equations and Black-Scholes option pricing models parametrized by affine-linear coefficient functions. We show that a single deep neural network trained on simulated data is capable of learning the solution functions of an entire family of PDEs on a full space-time region. Most notably, our numerical observations and theoretical results also demonstrate that the proposed method does not suffer from the curse of dimensionality, distinguishing it from almost all standard numerical methods for PDEs.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,高次元線形コルモゴロフ偏微分方程式(pdes)のパラメトリックファミリーの数値解に対する深層学習アルゴリズムを提案する。 本手法は,Fynman-Kac式を用いた1つの統計的学習問題として,コルモゴロフPDE全体の数値近似を再構成した。 熱方程式およびアフィン-線形係数関数でパラメータ化したブラック・スコールのオプション価格モデルにおいて,提案アルゴリズムの機能と効率を実証的に検証した。 シミュレーションデータに基づいてトレーニングされた1つのディープニューラルネットワークが、全時空領域のPDEファミリー全体の解関数を学習可能であることを示す。 最も注目すべきは、我々の数値観測と理論的結果は、提案手法が次元の呪いを被っていないことを示し、pdesのほとんどすべての標準数値手法と区別している。

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