論文の概要: Towards a complexity-theoretic dichotomy for TQFT invariants

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.02945v1
• Date: Tue, 04 Mar 2025 19:05:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-06 15:50:51.069149
• Title: Towards a complexity-theoretic dichotomy for TQFT invariants
• Title（参考訳）: TQFT不変量に対する複雑性理論的二分法に向けて
• Authors: Nicolas Bridges, Eric Samperton,
• Abstract要約: 固定$(2+1)$-dimensional TQFT over $mathbbC$ に対して、閉3次元多様体上の不変量(正確には)を計算する問題は、時間内に解決可能であることを示す。 我々の証明は、$mathbbC$を超える重み付き制約満足度問題に関するCaiとChenの結果の応用である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: We show that for any fixed $(2+1)$-dimensional TQFT over $\mathbb{C}$ of either Turaev-Viro-Barrett-Westbury or Reshetikhin-Turaev type, the problem of (exactly) computing its invariants on closed 3-manifolds is either solvable in polynomial time, or else it is $\#\mathsf{P}$-hard to (exactly) contract certain tensors that are built from the TQFT's fusion category. Our proof is an application of a dichotomy result of Cai and Chen [J. ACM, 2017] concerning weighted constraint satisfaction problems over $\mathbb{C}$. We leave for future work the issue of reinterpreting the conditions of Cai and Chen that distinguish between the two cases (i.e. $\#\mathsf{P}$-hard tensor contractions vs. polynomial time invariants) in terms of fusion categories. We expect that with more effort, our reduction can be improved so that one gets a dichotomy directly for TQFTs' invariants of 3-manifolds rather than more general tensors built from the TQFT's fusion category.
• Abstract（参考訳）: 2+1)$-次元 TQFT over $\mathbb{C}$ と Turaev-Viro-Barrett-Westbury あるいは Reshetikhin-Turaev 型のいずれかの場合、閉3次元多様体上の不変量を計算する問題は多項式時間で解けるか、あるいはそれ以外は TQFT の融合圏から構築された特定のテンソルに$\#\mathsf{P}$-hard となる。 我々の証明は、$\mathbb{C}$ 上の重み付き制約満足度問題に対する Cai と Chen [J. ACM, 2017] の分断結果の適用である。 将来の研究のために、融合圏の2つのケース(例えば$\#\mathsf{P}$-hard tensor contractions vs. polynomial time invariants)を区別するカイとチェンの条件を再解釈する問題を残している。 我々は、より多くの努力で、TQFTの融合圏から作られるより一般的なテンソルではなく、TQFTの3次元多様体の不変量に対して直接二分法を得るように、我々の還元を改善することができると期待する。

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