論文の概要: Solving 2-D Helmholtz equation in the rectangular, circular, and elliptical domains using neural networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.20222v1
• Date: Wed, 26 Mar 2025 04:28:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-27 13:19:28.000207
• Title: Solving 2-D Helmholtz equation in the rectangular, circular, and elliptical domains using neural networks
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークを用いた矩形領域、円形領域、楕円領域における2次元ヘルムホルツ方程式の解法
• Authors: D. Veerababu, Prasanta K. Ghosh,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワークは、複雑な物理学を支配するいくつかの微分方程式を解く代替手段を提供した。 音場予測の成功は、ヘルムホルツ方程式を解く際に生じる消失段階の問題によって制限される。 2次元ヘルムホルツ方程式を所定の境界条件で解く問題は、試行錯誤法を用いて制約のない最適化問題として提案される。 トレーニングプロセスに先立って与えられた境界条件を満たす試行ニューラルネットワークを,超有限拘束法とR関数理論を用いて構築する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: Physics-informed neural networks offered an alternate way to solve several differential equations that govern complicated physics. However, their success in predicting the acoustic field is limited by the vanishing-gradient problem that occurs when solving the Helmholtz equation. In this paper, a formulation is presented that addresses this difficulty. The problem of solving the two-dimensional Helmholtz equation with the prescribed boundary conditions is posed as an unconstrained optimization problem using trial solution method. According to this method, a trial neural network that satisfies the given boundary conditions prior to the training process is constructed using the technique of transfinite interpolation and the theory of R-functions. This ansatz is initially applied to the rectangular domain and later extended to the circular and elliptical domains. The acoustic field predicted from the proposed formulation is compared with that obtained from the two-dimensional finite element methods. Good agreement is observed in all three domains considered. Minor limitations associated with the proposed formulation and their remedies are also discussed.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワークは、複雑な物理学を支配するいくつかの微分方程式を解く代替手段を提供した。 しかし、それらの音場予測の成功はヘルムホルツ方程式を解く際に生じる消失段階の問題によって制限される。 本稿では,この問題に対処する定式化について述べる。 2次元ヘルムホルツ方程式を所定の境界条件で解く問題は、試行錯誤法を用いて制約のない最適化問題として提案される。 この方法によれば、トレーニングプロセスに先立って与えられた境界条件を満たす試行ニューラルネットワークは、超有限補間法とR-関数の理論を用いて構築される。 このアンザッツは最初は長方形領域に適用され、後に円形および楕円形領域に拡張される。 提案した定式化法から予測される音場は, 2次元有限要素法から得られた音場と比較する。 良い合意は、考慮された3つの領域すべてで観察される。 提案した定式化とその対策に関する小さな制限についても論じる。

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