論文の概要: Augmented neural forms with parametric boundary-matching operators for solving ordinary differential equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.19454v2
- Date: Thu, 26 Sep 2024 10:34:40 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-09-27 21:21:32.684994
- Title: Augmented neural forms with parametric boundary-matching operators for solving ordinary differential equations
- Title(参考訳): 常微分方程式を解くためのパラメトリック境界整合作用素を用いた強化ニューラルフォーム
- Authors: Adam D. Kypriadis, Isaac E. Lagaris, Aristidis Likas, Konstantinos E. Parsopoulos,
- Abstract要約: 本稿では,最適化可能な境界マッチングを持つ適切なニューラルフォームを体系的に構築するフォーマリズムを提案する。
ニューマン条件やロビン条件の問題をパラメトリックディリクレ条件の等価問題に変換する新しい手法を記述する。
提案手法は,一階および二階の常微分方程式と一階のシステムを含む多種多様な問題に対して実験を行った。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 0.0
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- Abstract: Approximating solutions of ordinary and partial differential equations constitutes a significant challenge. Based on functional expressions that inherently depend on neural networks, neural forms are specifically designed to precisely satisfy the prescribed initial or boundary conditions of the problem, while providing the approximate solutions in closed form. Departing from the important class of ordinary differential equations, the present work aims to refine and validate the neural forms methodology, paving the ground for further developments in more challenging fields. The main contributions are as follows. First, it introduces a formalism for systematically crafting proper neural forms with adaptable boundary matches that are amenable to optimization. Second, it describes a novel technique for converting problems with Neumann or Robin conditions into equivalent problems with parametric Dirichlet conditions. Third, it outlines a method for determining an upper bound on the absolute deviation from the exact solution. The proposed augmented neural forms approach was tested on a set of diverse problems, encompassing first- and second-order ordinary differential equations, as well as first-order systems. Stiff differential equations have been considered as well. The resulting solutions were subjected to assessment against existing exact solutions, solutions derived through the common penalized neural method, and solutions obtained via contemporary numerical analysis methods. The reported results demonstrate that the augmented neural forms not only satisfy the boundary and initial conditions exactly, but also provide closed-form solutions that facilitate high-quality interpolation and controllable overall precision. These attributes are essential for expanding the application field of neural forms to more challenging problems that are described by partial differential equations.
- Abstract(参考訳): 常微分方程式と偏微分方程式の近似解は重要な課題である。
ニューラルネットワークに本質的に依存する機能的表現に基づいて、ニューラルネットワークは特定の初期条件や境界条件を正確に満たし、近似した解を閉じた形で提供するように設計されている。
常微分方程式の重要なクラスとは別に、本研究は神経形態の方法論を洗練・検証することを目的としており、より困難な分野におけるさらなる発展のための基礎を築き上げている。
主な貢献は以下の通りである。
まず、最適化に適した適応可能な境界マッチングを持つ適切なニューラルネットワークフォームを体系的に構築するフォーマリズムを導入する。
第二に、ニューマン条件やロビン条件の問題をパラメトリックディリクレ条件の等価問題に変換する新しい手法について述べる。
第3に、正確な解から絶対偏差の上限を決定する方法の概要を示す。
提案手法は,一階および二階の常微分方程式と一階のシステムを含む多種多様な問題に対して実験を行った。
剛微分方程式も検討されている。
得られた解は、既存の正確な解、共通のペナル化ニューラルネットワーク法で導かれた解、および現代の数値解析法で得られた解に対して評価された。
以上の結果から, 拡張型ニューラルフォームは境界条件と初期条件を正確に満足するだけでなく, 高品質な補間と総合的精度の制御を容易にするクローズドフォームソリューションも提供することが示された。
これらの属性は、偏微分方程式によって記述されるより難しい問題にニューラルフォームの応用分野を拡張するのに不可欠である。
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