論文の概要: Transformed Physics-Informed Neural Networks for The Convection-Diffusion Equation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.07671v1
• Date: Thu, 12 Sep 2024 00:24:21 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-09-13 18:11:59.966592
• Title: Transformed Physics-Informed Neural Networks for The Convection-Diffusion Equation
• Title（参考訳）: 対流拡散方程式のための変換された物理インフォームニューラルネットワーク
• Authors: Jiajing Guan, Howard Elman,
• Abstract要約: 特異な摂動問題には、数値的に解くのが難しい急な境界層を持つ解が存在する。 有限差分法のような従来の数値法は、安定かつ正確な解を得るために洗練されたメッシュを必要とする。 我々は,物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を用いて特異摂動問題の数値解を生成することを検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Singularly perturbed problems are known to have solutions with steep boundary layers that are hard to resolve numerically. Traditional numerical methods, such as Finite Difference Methods (FDMs), require a refined mesh to obtain stable and accurate solutions. As Physics-Informed Neural Networks (PINNs) have been shown to successfully approximate solutions to differential equations from various fields, it is natural to examine their performance on singularly perturbed problems. The convection-diffusion equation is a representative example of such a class of problems, and we consider the use of PINNs to produce numerical solutions of this equation. We study two ways to use PINNS: as a method for correcting oscillatory discrete solutions obtained using FDMs, and as a method for modifying reduced solutions of unperturbed problems. For both methods, we also examine the use of input transformation to enhance accuracy, and we explain the behavior of input transformations analytically, with the help of neural tangent kernels.
• Abstract（参考訳）: 特異な摂動問題は、数値的に解くのが難しい急な境界層を持つ解を持つことが知られている。 有限差分法(FDM)のような従来の数値法は、安定かつ正確な解を得るために洗練されたメッシュを必要とする。 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、様々な分野の微分方程式の解をうまく近似できることが示されているので、特異摂動問題においてそれらの性能を調べることは当然である。 対流拡散方程式はそのような問題の代表的な例であり、この方程式の数値解を生成するために PINN を用いることを検討する。 本研究では、FDMを用いて得られる振動性離散解の補正方法としてPINNSを利用する方法と、未飽和問題の縮小解を修正する方法としてPINNSを利用する方法について検討する。 両手法とも、精度を高めるために入力変換を用いることも検討し、ニューラルネットワークカーネルの助けを借りて、入力変換の挙動を解析的に説明する。

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