論文の概要: A Physics-Informed Meta-Learning Framework for the Continuous Solution of Parametric PDEs on Arbitrary Geometries

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.02459v1
• Date: Thu, 03 Apr 2025 10:24:00 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-04-04 12:55:46.346719
• Title: A Physics-Informed Meta-Learning Framework for the Continuous Solution of Parametric PDEs on Arbitrary Geometries
• Title（参考訳）: 任意測地におけるパラメトリックPDEの連続解のための物理インフォーマルなメタラーニングフレームワーク
• Authors: Reza Najian Asl, Yusuke Yamazaki, Kianoosh Taghikhani, Mayu Muramatsu, Markus Apel, Shahed Rezaei,
• Abstract要約: 任意の測地上での偏微分方程式(PDE)の連続およびパラメトリック解に対する暗黙的有限演算子学習(iFOL)を導入する。 本稿では,連続パラメータと解空間のマッピングを確立するための物理インフォームドエンコーダデコーダネットワークを提案する。 我々はこれらの特徴を批判的に評価し、定常PDEと過渡PDEの両方で見つからないサンプルに一般化するネットワークの能力を解析する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: In this work, we introduce implicit Finite Operator Learning (iFOL) for the continuous and parametric solution of partial differential equations (PDEs) on arbitrary geometries. We propose a physics-informed encoder-decoder network to establish the mapping between continuous parameter and solution spaces. The decoder constructs the parametric solution field by leveraging an implicit neural field network conditioned on a latent or feature code. Instance-specific codes are derived through a PDE encoding process based on the second-order meta-learning technique. In training and inference, a physics-informed loss function is minimized during the PDE encoding and decoding. iFOL expresses the loss function in an energy or weighted residual form and evaluates it using discrete residuals derived from standard numerical PDE methods. This approach results in the backpropagation of discrete residuals during both training and inference. iFOL features several key properties: (1) its unique loss formulation eliminates the need for the conventional encode-process-decode pipeline previously used in operator learning with conditional neural fields for PDEs; (2) it not only provides accurate parametric and continuous fields but also delivers solution-to-parameter gradients without requiring additional loss terms or sensitivity analysis; (3) it can effectively capture sharp discontinuities in the solution; and (4) it removes constraints on the geometry and mesh, making it applicable to arbitrary geometries and spatial sampling (zero-shot super-resolution capability). We critically assess these features and analyze the network's ability to generalize to unseen samples across both stationary and transient PDEs. The overall performance of the proposed method is promising, demonstrating its applicability to a range of challenging problems in computational mechanics.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,任意の測地上での偏微分方程式(PDE)の連続およびパラメトリック解に対して,暗黙的有限演算子学習(iFOL)を導入する。 本稿では,連続パラメータと解空間のマッピングを確立するための物理インフォームドエンコーダデコーダネットワークを提案する。 デコーダは、潜時または特徴コードに条件付された暗黙のニューラルネットワークを活用してパラメトリック解場を構築する。 インスタンス固有のコードは、二階メタラーニング技術に基づくPDE符号化プロセスによって導出される。 トレーニングと推論では、PDE符号化と復号化の間、物理インフォームド・ロス関数が最小化される。 iFOLは、エネルギーまたは重み付け残差形式で損失関数を表現し、標準数値PDE法から導出した離散残差を用いて評価する。 このアプローチは、トレーニングと推論の両方において、離散的残留のバックプロパゲーションをもたらす。 iFOLのユニークな損失定式化は、PDEのための条件付きニューラルネットワークを用いた演算子学習で以前使用されていたエンコード・プロセス・デコードパイプラインの必要性を排除し、(2)正確なパラメトリックおよび連続体を提供するだけでなく、損失項や感度分析を必要とせずに、解とパラメータの勾配を提供する、(3)解の鋭い不連続を効果的に捕捉する、(4)幾何やメッシュの制約を排除し、任意の測地や空間サンプリング(ゼロショット超解像能)に適用する、といった特徴を持つ。 我々はこれらの特徴を批判的に評価し、定常PDEと過渡PDEの両方で見つからないサンプルに一般化するネットワークの能力を解析する。 提案手法の全体的な性能は有望であり,計算力学における様々な問題に適用可能であることを示す。

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