Fugu-MT 論文翻訳(概要): Categories of abstract and noncommutative measurable spaces

論文の概要: Categories of abstract and noncommutative measurable spaces

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.13708v1
Date: Fri, 18 Apr 2025 14:12:40 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2025-04-28 15:33:16.541013
Title: Categories of abstract and noncommutative measurable spaces
Title（参考訳）: 抽象的および非可換可測空間のカテゴリ
Authors: Tobias Fritz, Antonio Lorenzin,
Abstract要約: ゲルファント双対性は、コンパクトハウスドルフ空間の非可換版として一般ユニタリ$C*$-代数の考えを正当化する基本的な結果である。モノトン $sigma$-complete $C*$-algebras の圏とブール $sigma$-algebras の圏を考える。この双対性は2つの同値性に制限される: 1つは標準ボレル空間、もう1つはより一般的なベール可測空間を含む。
参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6114012813668932
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: Gelfand duality is a fundamental result that justifies thinking of general unital $C^*$-algebras as noncommutative versions of compact Hausdorff spaces. Inspired by this perspective, we investigate what noncommutative measurable spaces should be. This leads us to consider categories of monotone $\sigma$-complete $C^*$-algebras as well as categories of Boolean $\sigma$-algebras, which can be thought of as abstract measurable spaces. Motivated by the search for a good notion of noncommutative measurable space, we provide a unified overview of these categories, alongside those of measurable spaces, and formalize their relationships through functors, adjunctions and equivalences. This includes an equivalence between Boolean $\sigma$-algebras and commutative monotone $\sigma$-complete $C^*$-algebras, as well as a Gelfand-type duality adjunction between the latter category and the category of measurable spaces. This duality restricts to two equivalences: one involving standard Borel spaces, which are widely used in probability theory, and another involving the more general Baire measurable spaces. Moreover, this result admits a probabilistic version, where the morphisms are $\sigma$-normal cpu maps and Markov kernels, respectively. We hope that these developments can also contribute to the ongoing search for a well-behaved Markov category for measure-theoretic probability beyond the standard Borel setting - an open problem in the current state of the art.
Abstract（参考訳）: ゲルファント双対性は、コンパクトハウスドルフ空間の非可換版として一般ユニタリ$C^*$-代数の考えを正当化する基本的な結果である。この観点から、非可換可測空間は何であるべきかを考察する。これにより、モノトン $\sigma$-complete $C^*$-algebras の圏と Boolean $\sigma$-algebras の圏を考えることができる。非可換可測空間のよい概念を求めることにより、可測空間とともにこれらの圏の統一的な概要を提供し、関手、随伴、同値を通じてそれらの関係を定式化する。これにはブール$\sigma$-代数と可換単調$\sigma$-complete $C^*$-代数の間の同値性や、後者の圏と可測空間の圏の間のゲルファント型双対性随伴が含まれる。この双対性は2つの同値性に制限される: 1つは確率論で広く用いられる標準ボレル空間と、もう1つはより一般的なベール可測空間である。さらに、この結果は確率的バージョンを認めており、射はそれぞれ$\sigma$-normal cpu map と Markov kernel である。これらの発展が、現在最先端のオープンな問題である標準ボレル設定を超える測度理論的確率のマルコフ圏の探索に寄与することを期待している。

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