論文の概要: Minimax Rates of Estimation for Optimal Transport Map between Infinite-Dimensional Spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.13570v1
• Date: Mon, 19 May 2025 13:00:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-21 14:49:52.44939
• Title: Minimax Rates of Estimation for Optimal Transport Map between Infinite-Dimensional Spaces
• Title（参考訳）: 無限次元空間間の最適輸送マップ推定の最小値
• Authors: Donlapark Ponnoprat, Masaaki Imaizumi,
• Abstract要約: 無限次元空間上の確率測度間の最適輸送マップの推定について検討し,その極小最大速度を明らかにする。 サンプルから最適輸送マップを推定すると、確率測度と関数データ解析の間のダイナミクスをシミュレートするなど、いくつかの応用が見つかる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.9060054915724
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We investigate the estimation of an optimal transport map between probability measures on an infinite-dimensional space and reveal its minimax optimal rate. Optimal transport theory defines distances within a space of probability measures, utilizing an optimal transport map as its key component. Estimating the optimal transport map from samples finds several applications, such as simulating dynamics between probability measures and functional data analysis. However, some transport maps on infinite-dimensional spaces require exponential-order data for estimation, which undermines their applicability. In this paper, we investigate the estimation of an optimal transport map between infinite-dimensional spaces, focusing on optimal transport maps characterized by the notion of $\gamma$-smoothness. Consequently, we show that the order of the minimax risk is polynomial rate in the sample size even in the infinite-dimensional setup. We also develop an estimator whose estimation error matches the minimax optimal rate. With these results, we obtain a class of reasonably estimable optimal transport maps on infinite-dimensional spaces and a method for their estimation. Our experiments validate the theory and practical utility of our approach with application to functional data analysis.
• Abstract（参考訳）: 無限次元空間上の確率測度間の最適輸送マップの推定について検討し,その極小最大速度を明らかにする。 最適輸送理論は確率測度の空間内の距離を定義し、最適輸送写像をその鍵成分として利用する。 サンプルから最適輸送マップを推定すると、確率測度と関数データ解析の間のダイナミクスをシミュレートするなど、いくつかの応用が見つかる。 しかし、無限次元空間上のいくつかの輸送写像は、その適用性を損なう推定のために指数階データを必要とする。 本稿では,無限次元空間間の最適輸送写像の推定について検討し,$\gamma$-smoothnessという概念を特徴とする最適輸送写像に着目した。 その結果,無限次元の設定においても,ミニマックスリスクの順序は標本サイズにおける多項式率であることがわかった。 また,推定誤差が最小値の最適値と一致する推定器を開発した。 これらの結果から、無限次元空間上の合理的に推定可能な最適輸送写像のクラスとそれらの推定方法を得る。 本研究は,本手法の理論と実用性,および機能データ解析への応用について検証した。

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