論文の概要: Weak Physics Informed Neural Networks for Geometry Compatible Hyperbolic Conservation Laws on Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.19036v1
• Date: Sun, 25 May 2025 08:36:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-28 14:37:20.06663
• Title: Weak Physics Informed Neural Networks for Geometry Compatible Hyperbolic Conservation Laws on Manifolds
• Title（参考訳）: 多様体上の幾何対応双曲保存則のための弱物理インフォームニューラルネットワーク
• Authors: Hanfei Zhou, Lei Shi,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、複素幾何学において高次元偏微分方程式(PDE)を解くための強力なアプローチを提供する。 PINNは、非線形双曲方程式から生じるような、低い正則性を持つ解を近似するのに苦労することがある。 弱解の効率的な近似に適したPINNのためのフレームワークを開発する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.4583059436979549
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Physics-informed neural networks (PINNs), owing to their mesh-free nature, offer a powerful approach for solving high-dimensional partial differential equations (PDEs) in complex geometries, including irregular domains. This capability effectively circumvents the challenges of mesh generation that traditional numerical methods face in high-dimensional or geometrically intricate settings. While recent studies have extended PINNs to manifolds, the theoretical foundations remain scarce. Existing theoretical analyses of PINNs in Euclidean space often rely on smoothness assumptions for the solutions. However, recent empirical evidence indicates that PINNs may struggle to approximate solutions with low regularity, such as those arising from nonlinear hyperbolic equations. In this paper, we develop a framework for PINNs tailored to the efficient approximation of weak solutions, particularly nonlinear hyperbolic equations defined on manifolds. We introduce a novel weak PINN (wPINN) formulation on manifolds that leverages the well-posedness theory to approximate entropy solutions of geometry-compatible hyperbolic conservation laws on manifolds. Employing tools from approximation theory, we establish a convergence analysis of the algorithm, including an analysis of approximation errors for time-dependent entropy solutions. This analysis provides insight into the accumulation of approximation errors over long time horizons. Notably, the network complexity depends only on the intrinsic dimension, independent of the ambient space dimension. Our results match the minimax rate in the d-dimensional Euclidean space, demonstrating that PINNs can alleviate the curse of dimensionality in the context of low-dimensional manifolds. Finally, we validate the performance of the proposed wPINN framework through numerical experiments, confirming its ability to efficiently approximate entropy solutions on manifolds.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)はメッシュのない性質のため、不規則領域を含む複雑な幾何学において高次元偏微分方程式(PDE)を解くための強力なアプローチを提供する。 この能力は、従来の数値手法が高次元または幾何学的に複雑な設定で直面するメッシュ生成の課題を効果的に回避する。 近年の研究はPINNを多様体に拡張しているが、理論の基礎は乏しい。 既存のユークリッド空間におけるPINNの理論的解析は、しばしば解に対する滑らかさの仮定に依存する。 しかし、最近の実証的な証拠は、PINNが非線形双曲方程式から生じるような、低い正則性を持つ解を近似するのに苦労していることを示している。 本稿では,弱解,特に多様体上で定義される非線形双曲方程式の効率的な近似に適したPINNのためのフレームワークを開発する。 多様体上の幾何互換な双曲的保存則のエントロピー解を近似するために、十分に重畳された理論を利用する新しい弱PINN(wPINN)の定式化を導入する。 近似理論からのツールを用いて、時間依存エントロピー解に対する近似誤差の解析を含むアルゴリズムの収束解析を確立する。 この分析は、長い時間的地平線上の近似誤差の蓄積に関する洞察を与える。 特に、ネットワークの複雑さは内在次元にのみ依存し、周囲空間次元とは無関係である。 我々の結果は、D次元ユークリッド空間のミニマックス速度と一致し、PINNが低次元多様体の文脈における次元の呪いを緩和できることを示した。 最後に, 数値実験により提案したwPINNフレームワークの性能を検証し, 多様体上のエントロピー解を効率的に近似する能力を確認した。

関連論文リスト

• Solving Poisson Equations using Neural Walk-on-Spheres [80.1675792181381]
  高次元ポアソン方程式の効率的な解法としてニューラルウォーク・オン・スフェース(NWoS)を提案する。 我々は,NWoSの精度,速度,計算コストにおける優位性を実証した。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-06-05T17:59:22Z)
• Physics-informed deep learning and compressive collocation for high-dimensional diffusion-reaction equations: practical existence theory and numerics [5.380276949049726]
  ディープラーニング(DL)に基づく高次元偏微分方程式の効率的な解法の開発と解析 理論的にも数値的にも,新しい安定かつ高精度なスペクトルコロケーション法と競合できることを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-06-03T17:16:11Z)
• RoPINN: Region Optimized Physics-Informed Neural Networks [66.38369833561039]
  物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は偏微分方程式(PDE)の解法として広く応用されている。 本稿では,地域最適化としての新たな訓練パラダイムを提案し,理論的に検討する。 実践的なトレーニングアルゴリズムであるRerea Optimized PINN(RoPINN)は、この新しいパラダイムからシームレスに派生している。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-05-23T09:45:57Z)
• Solving PDEs on Spheres with Physics-Informed Convolutional Neural Networks [17.69666422395703]
  物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は偏微分方程式(PDE)の解法において効率的であることが示されている。 本稿では,物理インフォームド畳み込みニューラルネットワーク(PICNN)の厳密な解析を行い,球面上のPDEを解く。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-08-18T14:58:23Z)
• Solving High-Dimensional PDEs with Latent Spectral Models [74.1011309005488]
  我々は,高次元PDEの効率的かつ高精度な解法に向けて,Latent Spectral Models (LSM) を提案する。 数値解析において古典スペクトル法に着想を得て,潜時空間におけるPDEを解くために,ニューラルスペクトルブロックを設計する。 LSMは、一貫した最先端を実現し、7つのベンチマークで平均11.5%の相対的な利益を得る。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-01-30T04:58:40Z)
• Semi-analytic PINN methods for singularly perturbed boundary value problems [0.8594140167290099]
  本稿では,新しい半解析的物理情報ニューラルネットワーク(PINN)を提案し,特異な摂動境界値問題の解法を提案する。 PINNは、偏微分方程式の数値解を見つけるための有望な視点を提供する科学機械学習フレームワークである。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-08-19T04:26:40Z)
• dNNsolve: an efficient NN-based PDE solver [62.997667081978825]
  ODE/PDEを解決するためにデュアルニューラルネットワークを利用するdNNsolveを紹介します。 我々は,dNNsolveが1,2,3次元の幅広いODE/PDEを解くことができることを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-03-15T19:14:41Z)

関連論文リストは本サイト内にある論文のタイトル・アブストラクトから自動的に作成しています。

指定された論文の情報です。
本サイトの運営者は本サイト（すべての情報・翻訳含む）の品質を保証せず、本サイト（すべての情報・翻訳含む）を使用して発生したあらゆる結果について一切の責任を負いません。