論文の概要: Riemannian Principal Component Analysis

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.00226v1
• Date: Fri, 30 May 2025 21:04:01 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-04 21:47:32.513294
• Title: Riemannian Principal Component Analysis
• Title（参考訳）: リーマン主成分分析
• Authors: Oldemar Rodríguez,
• Abstract要約: 本稿では,従来のユークリッド空間におけるデータの仮定を超越した,主成分分析(PCA)の革新的拡張を提案する。 局所測度を含むようにPCAを適用し、多様体幾何を組み込むことができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
• Abstract: This paper proposes an innovative extension of Principal Component Analysis (PCA) that transcends the traditional assumption of data lying in Euclidean space, enabling its application to data on Riemannian manifolds. The primary challenge addressed is the lack of vector space operations on such manifolds. Fletcher et al., in their work {\em Principal Geodesic Analysis for the Study of Nonlinear Statistics of Shape}, proposed Principal Geodesic Analysis (PGA) as a geometric approach to analyze data on Riemannian manifolds, particularly effective for structured datasets like medical images, where the manifold's intrinsic structure is apparent. However, PGA's applicability is limited when dealing with general datasets that lack an implicit local distance notion. In this work, we introduce a generalized framework, termed {\em Riemannian Principal Component Analysis (R-PCA)}, to extend PGA for any data endowed with a local distance structure. Specifically, we adapt the PCA methodology to Riemannian manifolds by equipping data tables with local metrics, enabling the incorporation of manifold geometry. This framework provides a unified approach for dimensionality reduction and statistical analysis directly on manifolds, opening new possibilities for datasets with region-specific or part-specific distance notions, ensuring respect for their intrinsic geometric properties.
• Abstract（参考訳）: 本稿では, ユークリッド空間上のデータに対する従来の仮定を超越し, リーマン多様体上のデータに適用可能な主成分分析(PCA)の革新的拡張を提案する。 主な課題は、そのような多様体上のベクトル空間演算の欠如である。 フレッチャーらは、その研究の中で、リーマン多様体のデータを解析するための幾何学的アプローチとしてプリンシパル測地解析(PGA)を提案した。 しかしながら、PGAの適用性は、暗黙の局所距離の概念を持たない一般的なデータセットを扱う場合に制限される。 本研究では、局所的な距離構造を持つデータに対してPGAを拡張するために、一般化されたフレームワークである {\em Riemannian principal Component Analysis (R-PCA)を導入する。 具体的には,PCA法をリーマン多様体に適用し,局所測度をデータテーブルに組み込むことにより,多様体幾何の組み入れを可能にする。 このフレームワークは、次元の減少と統計解析を直接多様体上で行う統一的なアプローチを提供し、領域固有あるいは部分固有距離の概念を持つデータセットに対する新たな可能性を開き、それらの固有の幾何学的性質を尊重する。

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