論文の概要: Infinitesimal Higher-Order Spectral Variations in Rectangular Real Random Matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.03764v2
• Date: Thu, 05 Jun 2025 07:40:31 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-06 14:14:43.18749
• Title: Infinitesimal Higher-Order Spectral Variations in Rectangular Real Random Matrices
• Title（参考訳）: 矩形実ランダム行列における無限小高次スペクトル変化
• Authors: Róisín Luo,
• Abstract要約: 実矩形行列における特異値の一般$n$-次フレット微分を導出するための理論的枠組みを提案する。 自己随伴作用素に対する加藤の摂動解析理論から還元分解子作用素を利用する。 我々のフレームワークは、ランダム行列応用における高次スペクトル感度研究のための実用的なツールキットを研究者に提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We present a theoretical framework for deriving the general $n$-th order Fr\'echet derivatives of singular values in real rectangular matrices, by leveraging reduced resolvent operators from Kato's analytic perturbation theory for self-adjoint operators. Deriving closed-form expressions for higher-order derivatives of singular values is notoriously challenging through standard matrix-analysis techniques. To overcome this, we treat a real rectangular matrix as a compact operator on a finite-dimensional Hilbert space, and embed the rectangular matrix into a block self-adjoint operator so that non-symmetric perturbations are captured. Applying Kato's asymptotic eigenvalue expansion to this construction, we obtain a general, closed-form expression for the infinitesimal $n$-th order spectral variations. Specializing to $n=2$ and deploying on a Kronecker-product representation with matrix convention yield the Hessian of a singular value, not found in literature. By bridging abstract operator-theoretic perturbation theory with matrices, our framework equips researchers with a practical toolkit for higher-order spectral sensitivity studies in random matrix applications (e.g., adversarial perturbation in deep learning).
• Abstract（参考訳）: 実長方行列における特異値の一般$n$-階Fr\echet微分を、加藤分析摂動理論から自己随伴作用素への還元分解子作用素を利用する理論的枠組みを提案する。 特異値の高階微分に対する閉形式表現の導出は、標準的な行列解析技術によって明らかに困難である。 これを克服するために、実長方行列を有限次元ヒルベルト空間上のコンパクト作用素として扱い、その長方行列をブロック自己随伴作用素に埋め込み、非対称摂動を捉える。 この構成に加藤の漸近固有値展開を適用し、無限小$n$-次スペクトルの一般閉形式式を得る。 n=2$ に特化し、行列規則付きクロネッカー積表現に展開すると、文献にはない特異値のヘシアンが得られる。 本フレームワークは,行列を用いた抽象作用素-理論摂動理論のブリッジにより,確率行列応用における高次スペクトル感度研究(例えば,ディープラーニングにおける対角摂動)のための実用的なツールキットを研究者に提供する。

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