論文の概要: Positional numeral systems over polyadic rings

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.12930v2
• Date: Tue, 17 Jun 2025 21:07:40 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-23 19:00:04.731302
• Title: Positional numeral systems over polyadic rings
• Title（参考訳）: 多進環上の位置数系
• Authors: Steven Duplij,
• Abstract要約: 非派生なポリアディック $left(m,nright) $-ring 上で機能する位置数系を構築する。 許容語と乗法塔の長さは任意ではなく(二項の場合のように)「量子化」される その結果、より高速なアリティ対応算術、エキゾチックなコーディングスキーム、バイナリペアを超えた操作を利用するハードウェアの基盤となった。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We construct positional numeral systems that work natively over nonderived polyadic $\left( m,n\right) $-rings whose addition takes $m$ arguments and multiplication takes $n$. In such rings, the length of an admissible additive word and a multiplicative tower are not arbitrary (as in the binary case), but "quantized". Our main contributions are the following. Existence: every commutative $\left( m,n\right) $-ring admits a base-$p$ place-value expansion that respects the word length constraint in terms of numbers of operation compositions $\ell_{mult}=\ell_{add}(m-1)+1$. Lower bound: the minimum number of digits is greater than or equal to the arity of addition $m$. Representability gap: for $m,n\geq3$ only a proper subset of ring elements possess finite expansions, characterized by congruence-class arity shape invariants $I^{(m)}$ and $J^{(n)}$. Mixed-base "polyadic clocks": allowing a different base at each position enlarges the design space quadratically in the digit count. Catalogues: explicit tables for the integer rings $\mathbb{Z}_{4,3}$ and $\mathbb{Z}_{6,5}$ illustrate how ordinary integers lift to distinct polyadic variables. These results lay the groundwork for faster arity-aware arithmetic, exotic coding schemes, and hardware that exploits operations beyond the binary pair.
• Abstract（参考訳）: 非派生のpolyadic $\left(m,n\right) $-rings上でネイティブに動作する位置数系を構築し、加算は$m$引数を取り、乗法は$n$を取る。 そのような環において、許容加法語と乗法塔の長さは(二項の場合のように)任意ではなく「量子化」である。 私たちの主な貢献は以下のとおりです。 存在:すべての可換$\left(m,n\right) $-ringは、演算合成の個数$\ell_{mult}=\ell_{add}(m-1)+1$の項長制約を尊重する基底-$p$プレイス値展開を許容する。 下限: 最小の桁数は$m$のアリティより大きいか等しい。 表現可能性ギャップ:$m,n\geq3$の場合、環要素の固有部分集合のみが有限拡大を持ち、合同クラスアーリティー形状不変量$I^{を特徴とする。 (m)}$と$J^{ (n)}$。 混合ベース「ポリアディッククロック」: それぞれの位置で異なるベースを許すことで、桁数で2次的にデザイン空間を拡大する。 カタログ: 整数環の明示的なテーブル $\mathbb{Z}_{4,3}$ と $\mathbb{Z}_{6,5}$ は、通常の整数がどのように異なる多進変数に持ち上げるかを記述する。 これらの結果は、より高速なアリティ対応算術、エキゾチックなコーディングスキーム、バイナリペアを超えた操作を利用するハードウェアの基盤となった。

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