論文の概要: Normalizing Diffusion Kernels with Optimal Transport

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.06161v1
• Date: Tue, 08 Jul 2025 16:42:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-09 16:34:38.351328
• Title: Normalizing Diffusion Kernels with Optimal Transport
• Title（参考訳）: 最適輸送による拡散カーネルの正規化
• Authors: Nathan Kessler, Robin Magnet, Jean Feydy,
• Abstract要約: ラプラシアンから望ましい性質を継承する滑らかな作用素のクラスを導入する。 この構造により、ラプラシア風の平滑化と不規則データの処理が可能となる。 得られた演算子は熱拡散を近似するが、ラプラシアン自体のスペクトル情報も保持する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.081238502499229
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Smoothing a signal based on local neighborhoods is a core operation in machine learning and geometry processing. On well-structured domains such as vector spaces and manifolds, the Laplace operator derived from differential geometry offers a principled approach to smoothing via heat diffusion, with strong theoretical guarantees. However, constructing such Laplacians requires a carefully defined domain structure, which is not always available. Most practitioners thus rely on simple convolution kernels and message-passing layers, which are biased against the boundaries of the domain. We bridge this gap by introducing a broad class of smoothing operators, derived from general similarity or adjacency matrices, and demonstrate that they can be normalized into diffusion-like operators that inherit desirable properties from Laplacians. Our approach relies on a symmetric variant of the Sinkhorn algorithm, which rescales positive smoothing operators to match the structural behavior of heat diffusion. This construction enables Laplacian-like smoothing and processing of irregular data such as point clouds, sparse voxel grids or mixture of Gaussians. We show that the resulting operators not only approximate heat diffusion but also retain spectral information from the Laplacian itself, with applications to shape analysis and matching.
• Abstract（参考訳）: 局所近傍に基づく信号の平滑化は、機械学習と幾何学処理における中核的な操作である。 ベクトル空間や多様体のようなよく構造化された領域において、微分幾何学から導かれるラプラス作用素は熱拡散による滑らか化の原理的なアプローチを提供し、強い理論的保証を与える。 しかし、そのようなラプラシアンを構成するには、常に利用できるとは限らない、慎重に定義されたドメイン構造が必要である。 したがって、ほとんどの実践者は単純な畳み込みカーネルとメッセージパッシング層を頼りにしており、ドメインの境界に偏っている。 このギャップは、一般類似性や隣接行列から導かれる幅広い滑らかな作用素のクラスを導入し、ラプラシアンから望ましい性質を継承する拡散様作用素に正規化できることを証明して、橋渡しする。 提案手法は, 熱拡散の構造挙動に適合する正の平滑化演算子を再スケールするシンクホーンアルゴリズムの対称変種に依存する。 この構造は、点雲、スパース・ボクセル格子、ガウスの混合のような不規則なデータのラプラシアン的な平滑化と処理を可能にする。 得られた演算子は熱拡散を近似するだけでなく、ラプラシアンのスペクトル情報も保持し、形状解析やマッチングにも応用できることを示す。

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