論文の概要: The Hudson theorem in LCA groups and infinite quantum spin systems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.13154v1
• Date: Thu, 17 Jul 2025 14:16:05 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-18 20:10:24.531789
• Title: The Hudson theorem in LCA groups and infinite quantum spin systems
• Title（参考訳）: LCA群と無限量子スピン系におけるハドソン定理
• Authors: Fabio Nicola, Federico Riccardi,
• Abstract要約: ハドソンの定理は、$mathbbRd$ のガウス函数はウィグナー分布が至るところで正である唯一の函数であると述べている。 写像 $xmapsto 2x$ が測度保存であるなら、ウィグナー分布が非負な函数はまさに第二次の部分因子である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The celebrated Hudson theorem states that the Gaussian functions in $\mathbb{R}^d$ are the only functions whose Wigner distribution is everywhere positive. Motivated by quantum information theory, D. Gross proved an analogous result on the Abelian group $\mathbb{Z}_d^n$, for $d$ odd - corresponding to a system of $n$ qudits - showing that the Wigner distribution is nonnegative only for the so-called stabilizer states. Extending this result to the thermodynamic limit of finite-dimensional systems naturally leads us to consider general $2$-regular LCA groups that possess a compact open subgroup, where the issue of the positivity of the Wigner distribution is currently an open problem. We provide a complete solution to this question by showing that if the map $x\mapsto 2x$ is measure-preserving, the functions whose Wigner distribution is nonnegative are exactly the subcharacters of second degree, up to translation and multiplication by a constant. Instead, if the above map is not measure-preserving, the Wigner distribution always takes negative values. We discuss in detail the particular case of infinite sums of discrete groups and infinite products of compact groups, which correspond precisely to infinite quantum spin systems. Further examples include $n$-adic systems, where $n\geq 2$ is an arbitrary integer (not necessarily a prime), as well as solenoid groups.
• Abstract（参考訳）: 有名なハドソンの定理は、$\mathbb{R}^d$ のガウス函数はウィグナー分布が至る所正な唯一の函数であると述べている。 量子情報理論によって動機づけられたD. Gross は、アベリア群 $\mathbb{Z}_d^n$, for $d$ odd において、$n$ qudits の系に対応する類似の結果を証明した。 この結果を有限次元系の熱力学極限にまで拡張することで、コンパクトな開部分群を持つ一般の2$正則 LCA 群を考えることができる。 この問題に対して、写像 $x\mapsto 2x$ が測度保存であるなら、ウィグナー分布が非負である函数は、正確には第二次部分因子であり、変換と定数による乗法であることを示す。 代わりに、上記の写像が測度保存でないなら、ウィグナー分布は常に負の値を取る。 離散群の無限和とコンパクト群の無限積は、正確に無限量子スピン系に対応する。 その他の例としては、$n$-進系があり、$n\geq 2$ は任意の整数(必ずしも素数ではない)であり、ソレノイド群である。

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