論文の概要: A novel auxiliary equation neural networks method for exactly explicit solutions of nonlinear partial differential equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.16702v1
- Date: Fri, 22 Aug 2025 07:32:53 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-08-26 18:43:45.135104
- Title: A novel auxiliary equation neural networks method for exactly explicit solutions of nonlinear partial differential equations
- Title（参考訳）: 非線形偏微分方程式の厳密解に対する新しい補助方程式ニューラルネットワーク法
- Authors: Shanhao Yuan, Yanqin Liu, Runfa Zhang, Limei Yan, Shunjun Wu, Libo Feng,
- Abstract要約: AENNMは、ニューラルネットワーク(NN)モデルと補助方程式法を統合し、非線形偏微分方程式(NLPDE)の正確な解を求める革新的な解析手法である。
AENNMは計算効率と精度を大幅に向上させる。
本研究は,科学・工学分野にまたがって適用可能なNLPDEに対処するための新しい方法論的枠組みを提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.32839375042867835
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this study, we firstly propose an auxiliary equation neural networks method (AENNM), an innovative analytical method that integrates neural networks (NNs) models with the auxiliary equation method to obtain exact solutions of nonlinear partial differential equations (NLPDEs). A key novelty of this method is the introduction of a novel activation function derived from the solutions of the Riccati equation, establishing a new mathematical link between differential equations theory and deep learning. By combining the strong approximation capability of NNs with the high precision of symbolic computation, AENNM significantly enhances computational efficiency and accuracy. To demonstrate the effectiveness of the AENNM in solving NLPDEs, three numerical examples are investigated, including the nonlinear evolution equation, the Korteweg-de Vries-Burgers equation, and the (2+1)-dimensional Boussinesq equation. Furthermore, some new trial functions are constructed by setting specific activation functions within the "2-2-2-1" and "3-2-2-1" NNs models. By embedding the auxiliary equation method into the NNs framework, we derive previously unreported solutions. The exact analytical solutions are expressed in terms of hyperbolic functions, trigonometric functions, and rational functions. Finally, three-dimensional plots, contour plots, and density plots are presented to illustrate the dynamic characteristics of the obtained solutions. This research provides a novel methodological framework for addressing NLPDEs, with broad applicability across scientific and engineering fields.
- Abstract（参考訳）: 本研究ではまず,ニューラルネットワーク(NN)モデルと補助方程式法を統合し,非線形偏微分方程式(NLPDE)の正確な解を求める革新的な解析手法である補助方程式ニューラルネットワーク法(AENNM)を提案する。
この方法の重要な特徴は、リカティ方程式の解から導かれる新しい活性化関数を導入し、微分方程式理論とディープラーニングの間の新しい数学的関係を確立することである。
NNの強い近似能力とシンボル計算の高精度を組み合わせることで、AENNMは計算効率と精度を大幅に向上させる。
NLPDEの解法におけるAENNMの有効性を示すために,非線形進化方程式,コルテヴェーグ・ド・ヴリース・バーガース方程式,(2+1)次元ブーシネスク方程式の3つの数値例を検討した。
さらに、"2-2-2-1" と "3-2-2-1" のNNモデル内で特定のアクティベーション関数を設定することで、いくつかの新しい試行関数を構築する。
NNsフレームワークに補助方程式法を組み込むことで、未報告の解を導出する。
正確な解析解は双曲関数、三角関数、有理関数の言葉で表される。
最後に、3次元プロット、輪郭プロット、密度プロットを示し、得られた解の動的特性を示す。
本研究は,科学・工学分野にまたがって適用可能なNLPDEに対処するための新しい方法論的枠組みを提供する。
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