論文の概要: Positive maps and extendibility hierarchies from copositive matrices
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.15201v2
- Date: Thu, 09 Oct 2025 17:51:54 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-10-10 17:54:14.599237
- Title: Positive maps and extendibility hierarchies from copositive matrices
- Title（参考訳）: 共正行列からの正の写像と拡張性階層
- Authors: Aabhas Gulati, Ion Nechita, Sang-Jun Park,
- Abstract要約: 本研究は, PCOP(pairwise co positive)の新しい凸錐体を導入し, 系統的に研究する。
我々は、この円錐がPCPの錐体と双対であること(pairwise completely positive)を証明し、批判的に、広い共変写像群の正の完全な特徴づけを与える。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.914288166307964
- License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
- Abstract: This work introduces and systematically studies a new convex cone of PCOP (pairwise copositive). We establish that this cone is dual to the cone of PCP (pairwise completely positive) and, critically, provides a complete characterization for the positivity of the broad class of covariant maps. We provide a way to lift matrices from the cone of COP to PCOP, thereby creating a powerful bridge between the theory of copositive forms and the positive maps. We develop an analogous framework for decomposable maps, introducing the cone PDEC. As a primary application of this framework, we define a novel family of linear maps $\Phi_t^G$ parameterized by a graph $G$ and a real parameter $t$. We derive exact thresholds on $t$ that determine when these maps are positive or decomposable, linking these properties to fundamental graph-theoretic parameters. This construction yields vast new families of positive indecomposable maps, for which we provide explicit examples derived from infinite classes of graphs, most notably rank 3 strongly regular graphs such as Paley graphs. On the dual side, we investigate the entanglement properties of large classes of (symmetric) states. We prove that the SOS hierarchies used in polynomial optimization to approximate the cone of copositive matrices correspond precisely to dual cones of witnesses for different levels of the PPT bosonic extendibility hierarchy}-. In the setting of the DPS hierarchy for separability, we construct a large family of optimal entanglement witnesses that are not certifiable by any level of the PPT bosonic extendibility hierarchy, answering a long standing open question from [DPS04]. Leveraging the duality, we also provide an explicit construction of (mixture of) bipartite Dicke states that are simultaneously entangled and $K_r$-PPT bosonic extendible for any desired hierarchy level $r \geq 2$ and local dimension $n \geq 5$.
- Abstract（参考訳）: この研究は、PCOP(pairwise co positive)の新しい凸錐体を導入し、体系的に研究する。
我々は、この円錐がPCPの錐体と双対であること(pairwise completely positive)を証明し、批判的に、広い共変写像群の正の完全な特徴づけを与える。
我々は、COP の錐体から PCOP へ行列を持ち上げる方法を提供し、したがって、コ陽性形式の理論と正の写像の間に強力な橋渡しを行う。
我々は、コーンPDECを導入し、分解可能な地図のための類似のフレームワークを開発する。
このフレームワークの第一の応用として、グラフ$G$と実パラメータ$t$でパラメータ化された線形写像の新たなファミリを定義する。
これらの写像が正か分解可能かを判断する$t$の正確なしきい値を導き、これらの性質を基本グラフ理論パラメータにリンクする。
この構成は、グラフの無限類から導かれる明示的な例、特にパリーグラフのような強正則グラフ3を提示する、非常に新しい正の分解不能写像の族を生み出す。
両面において、大きな(対称な)状態のクラスにおける絡み合い特性について検討する。
共正行列の円錐を近似するために多項式最適化で用いられるSOS階層は、PPTボソニック拡張性階層の異なるレベルの証人の二重円錐と正確に一致することを証明している。
分離性のためのDPS階層の設定において、PPTボソニック拡張性階層の任意のレベルで証明できない、[DPS04]からの長いオープンな質問に答える最適な絡み合い証人の大族を構築する。
双対性を利用すると、任意の所望の階層レベル $r \geq 2$ および局所次元 $n \geq 5$ に対して、同時に絡み合った (混合された) バイパルタイト・ディック状態の明示的な構成も提供します。
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