論文の概要: Unitary orthonormal bases of finite dimensional inclusions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.11821v1
- Date: Mon, 17 Feb 2025 14:14:55 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-02-18 14:08:17.966880
- Title: Unitary orthonormal bases of finite dimensional inclusions
- Title（参考訳）: 有限次元包含の単元正規直交基底
- Authors: Keshab Chandra Bakshi, B V Rajarama Bhat,
- Abstract要約: ピムズナーとポパの意味でのユニタリ正規直交基底を$(mathcalBsubseteq MathcalA, E)$で、$mathcalA, MathcalB$は有限次元フォン・ノイマン代数である。
我々は、アーベル相対可換な深度 2 の大きいクラスに対するユニタリ正規直交基底の存在を証明した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: We study unitary orthonormal bases in the sense of Pimsner and Popa for inclusions $(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}, E),$ where $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ are finite dimensional von Neumann algebras and $E$ is a conditional expectation map from $\mathcal{A}$ onto $\mathcal{B}$. It is shown that existence of such bases requires that the associated inclusion matrix satisfies a spectral condition forcing dimension vectors to be Perron-Frobenius eigenvectors and the conditional expectation map preserves the Markov trace. Subject to these conditions, explicit unitary orthonormal bases are constructed if either one of the algebras is abelian or simple. They generalize complex Hadamard matrices, Weyl unitary bases, and a recent work of Crann et al which correspond to the special cases of $\mathcal{A}$ being abelian, simple, and general multi-matrix algebras respectively with $\mathcal{B}$ being the algebra of complex numbers. For the first time $\mathcal{B}$ is more general. As an application of these results it is shown that if $(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}, E),$ admits a unitary orthonormal basis then the Connes-St{\o}rmer relative entropy $H(\mathcal{A}_1|\mathcal{A})$ equals the logarithm of the square of the norm of the inclusion matrix, where $\mathcal{A}_1$ denotes the Jones basic construction of the inclusion. As a further application, we prove the existence of unitary orthonormal bases for a large class of depth 2 subfactors with abelian relative commutant.
- Abstract（参考訳）: ピムズナーとポパの意味でのユニタリ正規直交基底について、$(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}, E)$ ここで、$\mathcal{A}, \mathcal{B}$は有限次元フォン・ノイマン代数であり、$E$は$\mathcal{A}$から$\mathcal{B}$への条件付き期待写像である。
そのような基底の存在は、関連する包含行列が次元ベクトルをペロン・フロベニウス固有ベクトルに強制するスペクトル条件を満たし、条件付き期待写像がマルコフトレースを保存することを要求する。
これらの条件の下で、明示的なユニタリ正規直交基底は、代数のどちらか一方がアーベルあるいは単純であれば構成される。
彼らは複素アダマール行列、ワイルユニタリ基底、および、複素数の代数である$\mathcal{A}$と、それぞれ$\mathcal{B}$のアーベル、単純、一般多元環の特別な場合に対応するクレンの最近の研究を一般化する。
初めて$\mathcal{B}$はより一般である。
これらの結果の適用例として、$(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}, E)$ がユニタリ正規直交基底を許すならば、Connes-St{\o}rmer 相対エントロピー $H(\mathcal{A}_1|\mathcal{A})$ は包含行列のノルムの平方の対数に等しい。
さらに応用として、アーベル相対可換な深度 2 の大きい群に対するユニタリ正規直交基底の存在を証明した。
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