論文の概要: TENG++: Time-Evolving Natural Gradient for Solving PDEs With Deep Neural Nets under General Boundary Conditions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.15771v1
• Date: Sat, 13 Dec 2025 02:32:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-19 18:10:31.688379
• Title: TENG++: Time-Evolving Natural Gradient for Solving PDEs With Deep Neural Nets under General Boundary Conditions
• Title（参考訳）: TENG++: 一般境界条件下での深部ニューラルネットワークによるPDEの解法のための時間発展自然勾配
• Authors: Xinjie He, Chenggong Zhang,
• Abstract要約: 部分微分方程式 (Partial Differential Equations, PDE) は、物理的、生物学的、工学的な領域にまたがる複雑なシステムのモデリングの中心である。 伝統的な数値法は高次元や複雑な問題に悩まされることが多い。 PINNは、物理ベースの制約をディープラーニングフレームワークに埋め込むことによって、効率的な代替手段として登場した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5908471365011942
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Partial Differential Equations (PDEs) are central to modeling complex systems across physical, biological, and engineering domains, yet traditional numerical methods often struggle with high-dimensional or complex problems. Physics-Informed Neural Networks (PINNs) have emerged as an efficient alternative by embedding physics-based constraints into deep learning frameworks, but they face challenges in achieving high accuracy and handling complex boundary conditions. In this work, we extend the Time-Evolving Natural Gradient (TENG) framework to address Dirichlet boundary conditions, integrating natural gradient optimization with numerical time-stepping schemes, including Euler and Heun methods, to ensure both stability and accuracy. By incorporating boundary condition penalty terms into the loss function, the proposed approach enables precise enforcement of Dirichlet constraints. Experiments on the heat equation demonstrate the superior accuracy of the Heun method due to its second-order corrections and the computational efficiency of the Euler method for simpler scenarios. This work establishes a foundation for extending the framework to Neumann and mixed boundary conditions, as well as broader classes of PDEs, advancing the applicability of neural network-based solvers for real-world problems.
• Abstract（参考訳）: 部分微分方程式 (Partial Differential Equations, PDE) は、物理的、生物学的、工学的な領域にまたがる複雑なシステムのモデリングの中心であるが、伝統的な数値法は高次元あるいは複雑な問題にしばしば苦労する。 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、物理ベースの制約をディープラーニングフレームワークに埋め込むことによって、効率的な代替手段として登場したが、高い精度と複雑な境界条件を扱う上での課題に直面している。 本研究では、ディリクレ境界条件に対処するため、時間進化自然勾配(TENG)フレームワークを拡張し、自然勾配最適化とオイラー法やフン法などの数値的時間ステッピング手法を統合することにより、安定性と精度の両立を図る。 境界条件のペナルティ項を損失関数に組み込むことで,ディリクレ制約の厳密な適用を可能にする。 熱方程式の実験では、2階補正によるHeun法と、より単純なシナリオに対するEuler法の計算効率により、Heun法が優れていることが示されている。 この研究は、フレームワークをノイマンと混合境界条件に拡張する基盤を確立するとともに、より広範なPDEのクラスを確立し、実世界の問題に対するニューラルネットワークベースの解法の適用性を向上させる。

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