論文の概要: Variational (Energy-Based) Spectral Learning: A Machine Learning Framework for Solving Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.02492v1
• Date: Mon, 05 Jan 2026 19:03:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-07 17:02:12.694546
• Title: Variational (Energy-Based) Spectral Learning: A Machine Learning Framework for Solving Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 変分(エネルギーベース)スペクトル学習:部分微分方程式を解く機械学習フレームワーク
• Authors: M. M. Hammad,
• Abstract要約: 偏微分方程式(PDE)を解くための機械学習フレームワークである変動スペクトル学習(VSL)を導入する。 VSLは変分PDE理論、スペクトルの離散化、現代の機械学習の実践の間に原則化された橋渡しを提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We introduce variational spectral learning (VSL), a machine learning framework for solving partial differential equations (PDEs) that operates directly in the coefficient space of spectral expansions. VSL offers a principled bridge between variational PDE theory, spectral discretization, and contemporary machine learning practice. The core idea is to recast a given PDE \[ \mathcal{L}u = f \quad \text{in} \quad Q=Ω\times(0,T), \] together with boundary and initial conditions, into differentiable space--time energies built from strong-form least-squares residuals and weak (Galerkin) formulations. The solution is represented as a finite spectral expansion \[ u_N(x,t)=\sum_{n=1}^{N} c_n\,φ_n(x,t), \] where $φ_n$ are tensor-product Chebyshev bases in space and time, with Dirichlet-satisfying spatial modes enforcing homogeneous boundary conditions analytically. This yields a compact linear parameterization in the coefficient vector $\mathbf{c}$, while all PDE complexity is absorbed into the variational energy. We show how to construct strong-form and weak-form space-time functionals, augment them with initial-condition and Tikhonov regularization terms, and minimize the resulting objective with gradient-based optimization. In practice, VSL is implemented in TensorFlow using automatic differentiation and Keras cosine-decay-with-restarts learning-rate schedules, enabling robust optimization of moderately sized coefficient vectors. Numerical experiments on benchmark elliptic and parabolic problems, including one- and two-dimensional Poisson, diffusion, and Burgers-type equations, demonstrate that VSL attains accuracy comparable to classical spectral collocation with Crank-Nicolson time stepping, while providing a differentiable objective suitable for modern optimization tooling.
• Abstract（参考訳）: スペクトル展開の係数空間で直接動作する偏微分方程式(PDE)を解く機械学習フレームワークである変分スペクトル学習(VSL)を導入する。 VSLは変分PDE理論、スペクトルの離散化、現代の機械学習の実践の間に原則化された橋渡しを提供する。 中心となる考え方は、与えられた PDE \[ \mathcal{L}u = f \quad \text{in} \quad Q=Ω\times(0,T), \] を境界条件と初期条件と共に、強形式の最小二乗残差と弱(ガレルキン)の定式化で構築された微分可能な時空エネルギーに再キャストすることである。 この解は有限スペクトル展開 \[ u_N(x,t)=\sum_{n=1}^{N} c_n\,φ_n(x,t), \] として表される。 これにより、係数ベクトル $\mathbf{c}$ のコンパクト線型パラメータ化が得られるが、すべての PDE 複雑性は変動エネルギーに吸収される。 我々は、強形式および弱形式時空関数の構築方法を示し、初期条件とチホノフ正則化項でそれらを拡張し、勾配に基づく最適化によって得られる目的を最小化する。 実際には、VSLはTensorFlowで自動微分とKeras cosine-decay-with-restartsラーニングレートスケジュールを使用して実装されており、適度なサイズの係数ベクトルの堅牢な最適化を可能にする。 1次元および2次元ポアソン、拡散、バーガース型方程式を含むベンチマーク楕円型および放物型問題に関する数値実験は、VSLが古典的なスペクトルのコロケーションとクランク・ニコルソン時間ステップに匹敵する精度を達成し、現代の最適化ツールに適した微分可能な目的を提供することを示した。

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