論文の概要: Quantum eigenvalues and eigenfunctions of an electron confined between conducting planes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.13278v1
- Date: Mon, 19 Jan 2026 18:24:12 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-01-21 22:47:23.008223
- Title: Quantum eigenvalues and eigenfunctions of an electron confined between conducting planes
- Title（参考訳）: 導電面間に閉じ込められた電子の量子固有値と固有関数
- Authors: Don MacMillen,
- Abstract要約: 無限キャパシタの接地面の間に閉じ込められた電子の問題に対する量子解を考える。
ポテンシャルは、接地平面で形成される画像電荷と、L が平面間の距離である x = 0, L において、波動関数は 0 でなければならないという追加条件から生じる。
これにより、水素のような系をLに基づく粒子-in-a-ボックス(平面間の距離)に効果的に結合する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Two of the most iconic systems of quantum physics are the particle in a box and the Coulomb potential (the third is, of course, the harmonic oscillator). In this expository paper, we consider the quantum solution to the problem of an electron confined between the grounded planes of an infinite capacitor. The potential arises from the image charges that form in the grounded planes, along with the added condition that at x = 0, L, where L is the distance between the planes, the wavefunction must be zero. This effectively couples a hydrogen like system to a particle-in-a-box (PIB) based on L, the distance between the planes. The problem of finding the electrostatic potential of this infinite series of image charges is an old one, going back to at least 1929. Here, we give a short derivation for one of the limiting cases that yields a compact expression and show how the Kellogg infinite summation formula converges to that value. We note here that this potential is a symmetric double well potential, so there will be many familiar properties of its solutions. Then using that potential, we solve Schrödinger's equation using a spectral technique. The limiting forms of a particle in a box for small L (and high E), and that of a (degenerate) bound image charge at large L and small energy are recovered. We also discuss the tunneling level splitting that occurs in the transition from the large L to the small L regime.
- Abstract（参考訳）: 量子物理学の最も象徴的な2つの系は、箱の中の粒子とクーロンポテンシャルである(第3は、もちろん調和振動子である)。
本稿では,無限キャパシタの接地面間に閉じ込められた電子の問題に対する量子解について考察する。
ポテンシャルは、接地平面で形成される画像電荷と、L が平面間の距離である x = 0, L において、波動関数は 0 でなければならないという追加条件から生じる。
これにより、水素のような系をL(平面間の距離)に基づくパーティクル・イン・ア・ボックス(PIB)に効果的に結合する。
この無限の一連の画像電荷の静電ポテンシャルを見つける問題は、少なくとも1929年にさかのぼる古い問題である。
ここでは、コンパクトな式を生成する極限ケースの1つについて短い導出を行い、ケロッグ無限和公式がその値にどのように収束するかを示す。
ここでは、このポテンシャルは対称二重井戸ポテンシャルであることに注意する。
そして、このポテンシャルを用いてスペクトル法を用いてシュレーディンガー方程式を解く。
小L(高E)の箱内の粒子の制限形態と、大Lおよび小エネルギーでの(縮退した)有界画像電荷の制限形態を回収する。
また、大きなLから小さなL状態への遷移で生じるトンネルレベルの分裂についても論じる。
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