論文の概要: Quadratic tensors as a unification of Clifford, Gaussian, and free-fermion physics

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.15396v1
• Date: Wed, 21 Jan 2026 19:07:27 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-23 21:37:20.39035
• Title: Quadratic tensors as a unification of Clifford, Gaussian, and free-fermion physics
• Title（参考訳）: クリフォード、ガウスおよび自由フェルミオン物理学の統一としての二次テンソル
• Authors: Andreas Bauer, Seth Lloyd,
• Abstract要約: 量子力学モデルは,古典的コンピュータ上で効率的に記述・解けることを示す。 これらのモデルには、qubitまたはqudit Clifford回路と安定化器符号、フリーボソンまたはフリーフェルミオンモデル、特定のローターとGKP符号が含まれる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7147355857593098
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Certain families of quantum mechanical models can be described and solved efficiently on a classical computer, including qubit or qudit Clifford circuits and stabilizer codes, free-boson or free-fermion models, and certain rotor and GKP codes. We show that all of these families can be described as instances of the same algebraic structure, namely quadratic functions over abelian groups, or more generally over (super) Hopf algebras. Different kinds of degrees of freedom correspond to different "elementary" abelian groups or Hopf algebras: $\mathbb{Z}_2$ for qubits, $\mathbb{Z}_d$ for qudits, $\mathbb{R}$ for continuous variables, both $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ for rotors, and a super Hopf algebra $\mathcal F$ for fermionic modes. Objects such as states, operators, superoperators, or projection-operator valued measures, etc, are tensors. For the solvable models above, these tensors are quadratic tensors based on quadratic functions. Quadratic tensors with $n$ degrees of freedom are fully specified by only $O(n^2)$ coefficients. Tensor networks of quadratic tensors can be contracted efficiently on the level of these coefficients, using an operation reminiscent of the Schur complement. Our formalism naturally includes models with mixed degrees of freedom, such as qudits of different dimensions. We also use quadratic functions to define generalized stabilizer codes and Clifford gates for arbitrary abelian groups. Finally, we give a generalization from quadratic (or 2nd order) to $i$th order tensors, which are specified by $O(n^i)$ coefficients but cannot be contracted efficiently in general.
• Abstract（参考訳）: 量子力学モデルのある種のファミリーは、量子ビットまたはクディット・クリフォード回路や安定化器符号、自由ボソンまたは自由フェルミオンモデル、特定のローターおよびGKP符号など、古典的なコンピュータ上で効率的に記述・解ける。 これらの族はすべて、同じ代数構造の例、すなわちアーベル群上の二次函数、より一般には(超)ホップ代数として記述できることを示す。 異なる自由度は異なる「元」アーベル群またはホップ代数に対応する:$\mathbb{Z}_2$ for qubits, $\mathbb{Z}_d$ for qudits, $\mathbb{R}$ for continuous variables, $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ for rotors, and super Hopf algebra $\mathcal F$ for fermionic modes。 状態、演算子、スーパー演算子、投影演算値測度などのオブジェクトはテンソルである。 上記の可解モデルに対して、これらのテンソルは二次函数に基づく二次テンソルである。 自由度が$n$の二次テンソルは、わずか$O(n^2)$係数で完全に指定される。 二次テンソルのテンソルネットワークはこれらの係数のレベルで効率的に収縮することができ、シュア補体の演算を思い起こさせる。 我々の形式主義は自然に異なる次元の四角形のような混合自由度を持つモデルを含む。 また、任意のアーベル群に対する一般化安定化符号とクリフォードゲートを定義するために二次函数を用いる。 最後に、$O(n^i)$係数で指定されるが、一般には効率的に収縮できない二次(または2次)から$i$2次テンソルへの一般化を与える。

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